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第6問

関数 f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q が、すべての x,y∈Qx,y\in\mathbb Q に対して f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y または f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y) を満たすとき、aquaesulian であるという。任意の aquaesulian 関数 ff に対して、ある有理数 rr を用いた f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) の形の相異なる有理数が高々 cc 個しか存在しないような整数 cc が存在することを示し、そのような cc の最小値を求めよ。
ステップ 2/5: 2つの値を達成する構成例
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この区分線形関数は aquaesulian の性質を満たすことが直接確認でき、いくつかの具体的な有理数を代入するだけで f(r)+f(-r) の異なる2つの値が得られ、答えが2より小さくなり得ないことが分かる。

f(x)=⌊2x⌋−x,f(0)+f(−0)=0, f(13)+f(−13)=1f(x)=\lfloor2x\rfloor-x,\qquad f(0)+f(-0)=0,\ f(\tfrac13)+f(-\tfrac13)=1
詳しい解説

関数 f(x)=⌊2x⌋−xf(x)=\lfloor2x\rfloor-x は aquaesulian であることが確認できる。直接計算すると f(0)+f(−0)=0+0=0f(0)+f(-0)=0+0=0 であり、一方 f(1/3)+f(−1/3)=(⌊2/3⌋−1/3)+(⌊−2/3⌋−(−1/3))=(0−1/3)+(−1+1/3)=−1f(1/3)+f(-1/3)=(\lfloor2/3\rfloor-1/3)+(\lfloor-2/3\rfloor-(-1/3))=(0-1/3)+(-1+1/3)=-1 となる。代表元を調整すると、f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) の形の数のうちに相異なる2つの値が現れることが分かり、一般に少なくとも 22 個の値は避けられない。