第6問

関数

f:\mathbb Q\to\mathbb Q

が、すべての

x,y\in\mathbb Q

に対して

f(x+f(y))=f(x)+y

または

f(f(x)+y)=x+f(y)

を満たすとき、aquaesulian であるという。任意の aquaesulian 関数

f

に対して、ある有理数

r

を用いた

f(r)+f(-r)

の形の相異なる有理数が高々

c

個しか存在しないような整数

c

が存在することを示し、そのような

c

の最小値を求めよ。

ステップ 3/5: f は単射である

ざっくり言うと

もし2つの入力が同じ出力を与えるなら、それらの間で成り立つ方向の関係を適用することで、加えられる余分な項がちょうど2つの入力の差になっているため、直ちに2つの入力が等しいことが強制される。

f(a)=f(b)\implies a=b

詳しい解説

$f(a)=f(b)$ とする。一般性を失わず $a\to b$ とすると、 $f(a)+a=f(a+f(a))=f(a+f(b))=f(a)+b$ となり $a=b$ が従う。よって $f$ は単射である。