第6問

関数

f:\mathbb Q\to\mathbb Q

が、すべての

x,y\in\mathbb Q

に対して

f(x+f(y))=f(x)+y

または

f(f(x)+y)=x+f(y)

を満たすとき、aquaesulian であるという。任意の aquaesulian 関数

f

に対して、ある有理数

r

を用いた

f(r)+f(-r)

の形の相異なる有理数が高々

c

個しか存在しないような整数

c

が存在することを示し、そのような

c

の最小値を求めよ。

ステップ 4/5: 性質をもう一度適用することで生じる二分岐

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

定義される性質にうまく選んだ組を代入し、単射性を用いることで、あらゆる状況がちょうど2つの明確な結果に分かれる。一方は f(r) 足す f(-r) が0であることを決め、もう一方はそれを f(f(s)) 引く s で表す。

s\to r\implies f(r)+f(-r)=0\ \text{or}\ f(f(s))=s+f(r)+f(-r)

詳しい解説

$s\to r$ が成り立つとして、仮定を $x=s+f(r)$ 、 $y=-r$ に適用すると、 $x\to y$ または $y\to x$ のいずれかが成り立つ。 $s\to r$ と $f$ の単射性(ステップ3)を用いて両辺を直接計算すると、 $x\to y$ が成り立つ場合は $f(r)+f(-r)=0$ であり、 $y\to x$ が成り立つ場合は $f(f(s))=s+f(r)+f(-r)$ であることが分かる。