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第6問

関数 f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q が、すべての x,y∈Qx,y\in\mathbb Q に対して f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y または f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y) を満たすとき、aquaesulian であるという。任意の aquaesulian 関数 ff に対して、ある有理数 rr を用いた f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) の形の相異なる有理数が高々 cc 個しか存在しないような整数 cc が存在することを示し、そのような cc の最小値を求めよ。
ステップ 5/5: 非零で両立する値は高々2つに一致する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

2つの異なる数がともに f(r) 足す f(-r) の非零な値を持つなら、それらの間で成り立つべき方向にステップ4の二分岐を適用すると、2つの値は等しいことが強制される。したがって実質的に非零な値はただ1つしかあり得ず、それに値0が加わるだけである。

c=2c=2
詳しい解説

a≠ba\ne b がともに f(a)+f(−a)≠0f(a)+f(-a)\ne0 と f(b)+f(−b)≠0f(b)+f(-b)\ne0 を満たすとする。仮定より、一般性を失わず a→ba\to b とする。ステップ4を s=r=as=r=a (ステップ1の a→aa\to a を用いる)、および別に s=a,r=bs=a,r=b (この場合 a→ba\to b を用いる)に適用し、仮定により "=0=0" の分岐を除外すると、どちらも f(f(a))−af(f(a))-a の式を与え、f(a)+f(−a)=f(b)+f(−b)f(a)+f(-a)=f(b)+f(-b) が強制される。したがって f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) の非零な値はすべて一致し、あり得る値 00 と合わせて、一般に高々 22 個の相異なる値しか生じない。ステップ2の構成と合わせると、cc の最小可能値は c=2c=2 である。