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第2問

MM、NN をそれぞれ中心とする円 Ω\Omega、Γ\Gamma があり、Ω\Omega の半径は Γ\Gamma の半径より小さいとする。円 Ω\Omega と Γ\Gamma は相異なる2点 AA、BB で交わるとする。直線 MNMN は Ω\Omega と点 CC で、Γ\Gamma と点 DD で交わり、点 CC、MM、NN、DD はこの順に直線上に並んでいるとする。PP を三角形 ACDACD の外心とする。直線 APAP は Ω\Omega と再び E≠AE\ne A で交わる。直線 APAP は Γ\Gamma と再び F≠AF\ne A で交わる。HH を三角形 PMNPMN の垂心とする。HH を通り APAP に平行な直線が、三角形 BEFBEF の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 1/7: 直線 MN は AB の垂直二等分線である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

図全体を中心を結ぶ直線について対称移動すると、2円の交点が入れ替わるので、C と D から見て A と B は対称になる。

α:=∠ACD=∠BCD,β:=∠ADC=∠BDC\alpha:=\angle ACD=\angle BCD,\qquad \beta:=\angle ADC=\angle BDC
詳しい解説

交わる2円の共通弦 ABAB は常に中心を結ぶ直線に垂直であり、その直線は ABAB を二等分する;C,DC,D は直線 MNMN 上にあるので、どちらも AA と BB から等距離にあり、CA=CBCA=CB、DA=DBDA=DB となる。したがって MNMN に関する対称移動は C,D,M,NC,D,M,N を固定し A↔BA\leftrightarrow B を入れ替えるので、∠ACD\angle ACD を ∠BCD\angle BCD に、∠ADC\angle ADC を ∠BDC\angle BDC に写し、上記の2組の等しい角を与える;その結果 ∠ACB=2α\angle ACB=2\alpha、∠ADB=2β\angle ADB=2\beta となる。△CAB\triangle CAB と △DAB\triangle DAB は頂角 2α,2β2\alpha,2\beta の二等辺三角形だから、底角は ∠CAB=∠CBA=90∘−α\angle CAB=\angle CBA=90^\circ-\alpha、∠DAB=∠DBA=90∘−β\angle DAB=\angle DBA=90^\circ-\beta である。