非サニーな直線はちょうど3つの方向のいずれかに平行なので、三角形格子の3辺は自動的に非サニーとなる。
三角形格子 {(a,b):a,b≥1,a+b≤n+1}\{(a,b): a,b\ge1, a+b\le n+1\}{(a,b):a,b≥1,a+b≤n+1} の3辺(a=1a=1a=1、b=1b=1b=1、a+b=n+1a+b=n+1a+b=n+1 上にあり、まさに禁止された3方向)のいずれかの上の nnn 点すべてを通る直線を長い直線と呼ぶ。外周には 3(n−1)3(n-1)3(n−1) 個の点があり、nnn 本のうち長い直線が1本もなければ各直線は外周と高々222点で交わるので 2n≥3(n−1)2n\ge3(n-1)2n≥3(n−1) となり n≤3n\le3n≤3 が強制される。したがって n≥4n\ge4n≥4 では条件を満たす nnn 本の直線族は必ず長い直線を含む。