第1問

平面上の直線は、

x

軸、

y

軸、直線

x+y=0

のいずれとも平行でないとき、サニーな直線と呼ばれる。

n\ge3

を与えられた整数とする。次の2条件を同時に満たす平面上の

n

本の相異なる直線が存在するような、非負整数

k

をすべて求めよ:

a+b\le n+1

を満たすすべての正の整数

a

と

b

に対し、点

(a,b)

がそれらの直線の少なくとも1本の上にあること;そして、その

n

本のうちちょうど

k

本がサニーであること。

ステップ 4/6: 長い直線がない場合:k = 3 が強制される

前のステップ次のステップ

\text{no long line}\ \Longrightarrow\ \text{each of the 3 lines meets exactly 2 of the 6 points}

詳しい解説

$3$ 本のいずれも長い直線でなければ、各直線は $6$ 点のうち高々 $2$ 点で交わり(外辺以外でこの配列の $3$ 点以上を通る直線は存在しない)、 $3\times2=6$ とちょうど一致するので、各直線はちょうど $2$ 点を通り、 $6$ 点は $3$ 組に分けられる。実際に機能する組は $(1,1)$ – $(2,2)$ 、 $(3,1)$ – $(1,2)$ 、 $(2,1)$ – $(1,3)$ であり、直線 $y=x$ 、 $x+2y=5$ 、 $2x+y=5$ を与える;直接計算により、これら3直線はそれぞれ意図した2点だけで配列と交わり、傾きはそれぞれ $1,-\tfrac12,-2$ で、 $0$ 、無限大、 $-1$ のいずれでもないためすべてサニーである。よってこの場合は $k=3$ が強制される。