第1問

平面上の直線は、

x

軸、

y

軸、直線

x+y=0

のいずれとも平行でないとき、サニーな直線と呼ばれる。

n\ge3

を与えられた整数とする。次の2条件を同時に満たす平面上の

n

本の相異なる直線が存在するような、非負整数

k

をすべて求めよ:

a+b\le n+1

を満たすすべての正の整数

a

と

b

に対し、点

(a,b)

がそれらの直線の少なくとも1本の上にあること;そして、その

n

本のうちちょうど

k

本がサニーであること。

ステップ 5/6: k = 0 と k = 1 も具体的に構成できる

前のステップ次のステップ

k=0:\ a=1,\ b=1,\ a+b=4;\qquad k=1:\ b=1,\ b=2,\ \text{plus one sunny line through }(1,3)

詳しい解説

$k=0$ には、3本の長い直線 $a=1$ 、 $b=1$ 、 $a+b=4$ を取れば、非サニーな直線だけで $6$ 点すべてを覆える。 $k=1$ には、長い直線 $b=1$ ( $(1,1),(2,1),(3,1)$ を覆う)、非サニーな直線 $b=2$ ( $(1,2),(2,2)$ を覆う)、そして残る唯一の点 $(1,3)$ を通る任意のサニーな直線を取れば、これら $3$ 本は $6$ 点をちょうど1本のサニーな直線で覆う。上の $k=3$ の構成と合わせ、 $n=3$ で $k=0,1,3$ すべてが実現される。