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第2問

MM、NN をそれぞれ中心とする円 Ω\Omega、Γ\Gamma があり、Ω\Omega の半径は Γ\Gamma の半径より小さいとする。円 Ω\Omega と Γ\Gamma は相異なる2点 AA、BB で交わるとする。直線 MNMN は Ω\Omega と点 CC で、Γ\Gamma と点 DD で交わり、点 CC、MM、NN、DD はこの順に直線上に並んでいるとする。PP を三角形 ACDACD の外心とする。直線 APAP は Ω\Omega と再び E≠AE\ne A で交わる。直線 APAP は Γ\Gamma と再び F≠AF\ne A で交わる。HH を三角形 PMNPMN の垂心とする。HH を通り APAP に平行な直線が、三角形 BEFBEF の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 2/7: 外心 P は同じ2つの角を繰り返す
前のステップ次のステップ
∠PAD=∠CAB=90∘−α,∠PAC=∠BAD=90∘−β\angle PAD=\angle CAB=90^\circ-\alpha,\qquad \angle PAC=\angle BAD=90^\circ-\beta
詳しい解説

PP は △ACD\triangle ACD の外心なので PA=PC=PDPA=PC=PD。二等辺三角形 △PAD\triangle PAD において中心角 ∠APD=2∠ACD=2α\angle APD=2\angle ACD=2\alpha(弧 ADAD に対する円周角の2倍)なので底角は ∠PAD=∠PDA=90∘−α\angle PAD=\angle PDA=90^\circ-\alpha。二等辺三角形 △PAC\triangle PAC において中心角 ∠APC=2∠ADC=2β\angle APC=2\angle ADC=2\beta なので ∠PAC=∠PCA=90∘−β\angle PAC=\angle PCA=90^\circ-\beta。前のステップと比べると ∠PAD=∠CAB\angle PAD=\angle CAB、∠PAC=∠BAD\angle PAC=\angle BAD となる。