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第2問

MM、NN をそれぞれ中心とする円 Ω\Omega、Γ\Gamma があり、Ω\Omega の半径は Γ\Gamma の半径より小さいとする。円 Ω\Omega と Γ\Gamma は相異なる2点 AA、BB で交わるとする。直線 MNMN は Ω\Omega と点 CC で、Γ\Gamma と点 DD で交わり、点 CC、MM、NN、DD はこの順に直線上に並んでいるとする。PP を三角形 ACDACD の外心とする。直線 APAP は Ω\Omega と再び E≠AE\ne A で交わる。直線 APAP は Γ\Gamma と再び F≠AF\ne A で交わる。HH を三角形 PMNPMN の垂心とする。HH を通り APAP に平行な直線が、三角形 BEFBEF の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 3/7: 2つ目の交点 E と F が2本の平行線を与える
前のステップ次のステップ
∠AEC=∠ABC=∠CAB=90∘−α=∠EAD ⟹ CE∥AD,DF∥AC\angle AEC=\angle ABC=\angle CAB=90^\circ-\alpha=\angle EAD\ \Longrightarrow\ CE\parallel AD,\qquad DF\parallel AC
詳しい解説

円 Ω\Omega において円周角 ∠AEC\angle AEC は ∠ABC\angle ABC と同じ弧 ACAC に対するので ∠AEC=∠ABC\angle AEC=\angle ABC;△CAB\triangle CAB が二等辺三角形なのでこれは ∠CAB=90∘−α\angle CAB=90^\circ-\alpha に等しく、前のステップよりこれは ∠EAD\angle EAD に等しい(EE は半直線 APAP 上にあるので ∠EAD=∠PAD\angle EAD=\angle PAD)。よって ∠AEC=∠EAD\angle AEC=\angle EAD は、直線 CECE と ADAD を切る横断線 AEAE に対する等しい錯角であり、CE∥ADCE\parallel AD が強制される。円 Γ\Gamma における対称な計算(∠AFD=∠ABD=∠BAD=90∘−β=∠FAC\angle AFD=\angle ABD=\angle BAD=90^\circ-\beta=\angle FAC を用いる)により DF∥ACDF\parallel AC を得る。