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第2問

MM、NN をそれぞれ中心とする円 Ω\Omega、Γ\Gamma があり、Ω\Omega の半径は Γ\Gamma の半径より小さいとする。円 Ω\Omega と Γ\Gamma は相異なる2点 AA、BB で交わるとする。直線 MNMN は Ω\Omega と点 CC で、Γ\Gamma と点 DD で交わり、点 CC、MM、NN、DD はこの順に直線上に並んでいるとする。PP を三角形 ACDACD の外心とする。直線 APAP は Ω\Omega と再び E≠AE\ne A で交わる。直線 APAP は Γ\Gamma と再び F≠AF\ne A で交わる。HH を三角形 PMNPMN の垂心とする。HH を通り APAP に平行な直線が、三角形 BEFBEF の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 4/7: T は BEF の外接円における弧 EF の中点である
前のステップ次のステップ
A′:=CE∩DF,T:=circumcentre of △A′EFA':=CE\cap DF,\qquad T:=\text{circumcentre of }\triangle A'EF
詳しい解説

平行四辺形 ACA′DACA'D より A′C∥ADA'C\parallel AD、A′D∥ACA'D\parallel AC であり、F,A′,DF,A',D は一直線上、E,F,AE,F,A も一直線上にある。したがって △A′EF\triangle A'EF の3つの角は ∠FEA′=∠AEC=∠ABC=∠CAB=90∘−α\angle FEA'=\angle AEC=\angle ABC=\angle CAB=90^\circ-\alpha、∠A′FE=∠DFA=∠DBA=∠BAD=90∘−β\angle A'FE=\angle DFA=\angle DBA=\angle BAD=90^\circ-\beta、∠EA′F=180∘−(90∘−α)−(90∘−β)=α+β\angle EA'F=180^\circ-(90^\circ-\alpha)-(90^\circ-\beta)=\alpha+\beta と明示的に求まる。その外心を TT とすると、∠EA′T=90∘−∠A′FE=β=∠A′CD=∠CA′B\angle EA'T=90^\circ-\angle A'FE=\beta=\angle A'CD=\angle CA'B であるから、A′,B,TA',B,T は共線である。さらに ∠ETF=2∠EA′F=2(α+β)\angle ETF=2\angle EA'F=2(\alpha+\beta) である一方、∠EBF=∠EBA+∠ABF=∠ECA+∠ADF=∠A′CA+∠ADA′=2(α+β)\angle EBF=\angle EBA+\angle ABF=\angle ECA+\angle ADF=\angle A'CA+\angle ADA'=2(\alpha+\beta) である。よって B,E,F,TB,E,F,T は同一円周上にある。TT は △A′EF\triangle A'EF の外心なので TE=TFTE=TF であり、この円上で TT は BB を含まない弧 EFEF の中点である。弧の中点における接線は半径 OTOT に垂直であり、弦 EFEF も OTOT に垂直だから、この接線は EF=APEF=AP に平行である。