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第2問

MM、NN をそれぞれ中心とする円 Ω\Omega、Γ\Gamma があり、Ω\Omega の半径は Γ\Gamma の半径より小さいとする。円 Ω\Omega と Γ\Gamma は相異なる2点 AA、BB で交わるとする。直線 MNMN は Ω\Omega と点 CC で、Γ\Gamma と点 DD で交わり、点 CC、MM、NN、DD はこの順に直線上に並んでいるとする。PP を三角形 ACDACD の外心とする。直線 APAP は Ω\Omega と再び E≠AE\ne A で交わる。直線 APAP は Γ\Gamma と再び F≠AF\ne A で交わる。HH を三角形 PMNPMN の垂心とする。HH を通り APAP に平行な直線が、三角形 BEFBEF の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 5/7: T は直線 ME と NF 上にもある
前のステップ次のステップ
F,T,N collinear,E,T,M collinearF,T,N\ \text{collinear},\qquad E,T,M\ \text{collinear}
詳しい解説

DF∥ACDF\parallel AC なので、三角形 FEA′FEA' と FADFAD は FF を中心とする相似変換(位似)で結ばれている;この変換は △FEA′\triangle FEA' の外心 TT を、F,A,DF,A,D を通る円の中心、すなわち NN(A,D,F∈ΓA,D,F\in\Gamma なので Γ\Gamma の中心)に写す。したがって F,T,NF,T,N は共線である。EE を中心とする対称な相似変換(CE∥ADCE\parallel AD を用いる)により、E,T,ME,T,M も共線である。