MathLabs

第2問

MM、NN をそれぞれ中心とする円 Ω\Omega、Γ\Gamma があり、Ω\Omega の半径は Γ\Gamma の半径より小さいとする。円 Ω\Omega と Γ\Gamma は相異なる2点 AA、BB で交わるとする。直線 MNMN は Ω\Omega と点 CC で、Γ\Gamma と点 DD で交わり、点 CC、MM、NN、DD はこの順に直線上に並んでいるとする。PP を三角形 ACDACD の外心とする。直線 APAP は Ω\Omega と再び E≠AE\ne A で交わる。直線 APAP は Γ\Gamma と再び F≠AF\ne A で交わる。HH を三角形 PMNPMN の垂心とする。HH を通り APAP に平行な直線が、三角形 BEFBEF の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 6/7: 垂心 H は同じ2つの方向を受け継ぐ
前のステップ次のステップ
MH∥AD,NH∥ACMH\parallel AD,\qquad NH\parallel AC
詳しい解説

PP(PA=PDPA=PD のため)と NN(Γ∋A,D\Gamma\ni A,D の中心)はともに弦 ADAD の垂直二等分線上にあるので、直線 PNPN はまさにその垂直二等分線であり PN⊥ADPN\perp AD。△PMN\triangle PMN の MM からの高さ MHMH は定義により PNPN に垂直なので MH∥ADMH\parallel AD。同様に、PP(PA=PCPA=PC のため)と MM(Ω∋A,C\Omega\ni A,C の中心)はともに弦 ACAC の垂直二等分線上にあるので PM⊥ACPM\perp AC であり、高さ NH⊥PMNH\perp PM から NH∥ACNH\parallel AC を得る。