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第4問

正の整数 NN の真の約数とは、NN 自身を除く NN の正の約数のことである。無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots は、それぞれ少なくとも3つの真の約数をもつ正の整数からなる。各 n≥1n\ge1 に対して、整数 an+1a_{n+1} は ana_n の最大の3つの真の約数の和であるとする。a1a_1 としてあり得るすべての値を求めよ。
ステップ 1/8: 設定:最大の3つの真の約数
前のステップ次のステップ
σ(x):=sum of the three largest proper divisors of x,an+1=σ(an)\sigma(x):=\text{sum of the three largest proper divisors of }x,\qquad a_{n+1}=\sigma(a_n)
詳しい解説

SS を少なくとも3つの真の約数、すなわち合計で少なくとも4つの約数をもつ正の整数の集合とする。x∈Sx\in S に対し、xx の最大の3つの真の約数は x/d1,x/d2,x/d3x/d_1,x/d_2,x/d_3 である。ここで d1<d2<d3d_1<d_2<d_3 は 11 を超える xx の最小の3つの約数である;これらの和を σ(x)\sigma(x) と書くと、漸化式は an+1=σ(an)a_{n+1}=\sigma(a_n) となる。