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第4問

正の整数 NN の真の約数とは、NN 自身を除く NN の正の約数のことである。無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots は、それぞれ少なくとも3つの真の約数をもつ正の整数からなる。各 n≥1n\ge1 に対して、整数 an+1a_{n+1} は ana_n の最大の3つの真の約数の和であるとする。a1a_1 としてあり得るすべての値を求めよ。
ステップ 2/8: 十分性:これらの a1 の値が有効な数列を生成する
前のステップ次のステップ
x=12e⋅6ℓ, gcd⁡(ℓ,10)=1:σ(x)=1312x (e>0),σ(x)=x (e=0)x=12^e\cdot6\ell,\ \gcd(\ell,10)=1:\quad \sigma(x)=\tfrac{13}{12}x\ (e>0),\qquad \sigma(x)=x\ (e=0)
詳しい解説

x=12e⋅6ℓx=12^e\cdot6\ell(gcd⁡(ℓ,10)=1\gcd(\ell,10)=1)を考える。e>0e>0 なら 12∣x12\mid x なので、11 を超える xx の最小の3つの約数は 2,3,42,3,4 であり、σ(x)=x2+x3+x4=1312x=12e−1⋅6(13ℓ)\sigma(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{3}+\tfrac{x}{4}=\tfrac{13}{12}x=12^{e-1}\cdot6(13\ell) となり、ee を 11 減らし ℓ\ell を 13ℓ13\ell(依然として 1010 と互いに素)に置き換えた同じ形になる。e=0e=0 なら x=6ℓx=6\ell(ℓ\ell は 1010 と互いに素)なので 4∤x4\nmid x かつ 5∤x5\nmid x;11 を超える xx の最小の3つの約数は 2,3,62,3,6 であり、σ(x)=x2+x3+x6=x\sigma(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{3}+\tfrac{x}{6}=x となり不動点である。ee に関する下向きの帰納法により、このような xx から始まる数列は常に SS にとどまり、最終的に定数になるので、gcd⁡(ℓ,10)=1\gcd(\ell,10)=1 を満たすすべての a1=12e⋅6ℓa_1=12^e\cdot6\ell が達成可能である。