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第4問

正の整数 NN の真の約数とは、NN 自身を除く NN の正の約数のことである。無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots は、それぞれ少なくとも3つの真の約数をもつ正の整数からなる。各 n≥1n\ge1 に対して、整数 an+1a_{n+1} は ana_n の最大の3つの真の約数の和であるとする。a1a_1 としてあり得るすべての値を求めよ。
ステップ 3/8: 必要性:すべての項は偶数でなければならない
前のステップ次のステップ
x odd ⟹ σ(x)<x and σ(x) oddx\ \text{odd}\ \Longrightarrow\ \sigma(x)<x\ \text{and}\ \sigma(x)\ \text{odd}
詳しい解説

xx が奇数なら xx のすべての約数は奇数なので、3つの奇数の和である σ(x)\sigma(x) も奇数である;さらに 11 を超える最小の3つの約数は少なくとも 3,5,73,5,7 なので σ(x)≤(13+15+17)x<x\sigma(x)\le\bigl(\tfrac13+\tfrac15+\tfrac17\bigr)x<x。もしある aia_i が奇数なら、数列はそれ以降ずっと奇数かつ狭義減少になり、正の整数からなる無限数列としては不可能である。したがってすべての aia_i は偶数である。