第4問

$x$ が偶数だが $3\nmid x$ であるとする。$1$ を超える最小の2つの約数は $2$ と、$4$ または素数 $p\ge5$ のいずれかであり、3番目に小さい約数についての短い場合分けにより、$3\nmid x$ の間は $\sigma(x)\equiv0\pmod3$ が決して起こらないことが分かる;大きさの評価 $\sigma(x)\le\bigl(\tfrac12+\tfrac14+\tfrac15\bigr)x<x$ と合わせると、もしある $a_i$ が偶数だが $3$ の倍数でなければ、数列は再びずっと狭義減少することになり不可能である。したがってすべての $a_i$ は $2$ と $3$ の両方で割り切れる、すなわち $6$ で割り切れる。