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第4問

正の整数 NN の真の約数とは、NN 自身を除く NN の正の約数のことである。無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots は、それぞれ少なくとも3つの真の約数をもつ正の整数からなる。各 n≥1n\ge1 に対して、整数 an+1a_{n+1} は ana_n の最大の3つの真の約数の和であるとする。a1a_1 としてあり得るすべての値を求めよ。
ステップ 5/8: 6 の倍数に対する3つの公式
前のステップ次のステップ
6∣x:σ(x)=1312x (4∣x),σ(x)=3130x (4∤x, 5∣x),σ(x)=x (4∤x, 5∤x)6\mid x:\quad \sigma(x)=\tfrac{13}{12}x\ (4\mid x),\qquad \sigma(x)=\tfrac{31}{30}x\ (4\nmid x,\,5\mid x),\qquad \sigma(x)=x\ (4\nmid x,\,5\nmid x)
詳しい解説

各項はいま 6∣x6\mid x を満たすので、2,3,62,3,6 は常に約数である;11 を超える最小の3つの約数は、44 や 55 も xx を割り切るかどうかに依存する。4∣x4\mid x なら 2,3,42,3,4 であり σ(x)=x2+x3+x4=1312x\sigma(x)=\tfrac{x}2+\tfrac{x}3+\tfrac{x}4=\tfrac{13}{12}x。4∤x4\nmid x だが 5∣x5\mid x なら 2,3,52,3,5 であり σ(x)=x2+x3+x5=3130x\sigma(x)=\tfrac{x}2+\tfrac{x}3+\tfrac{x}5=\tfrac{31}{30}x。4∤x4\nmid x かつ 5∤x5\nmid x なら 2,3,62,3,6 であり σ(x)=x2+x3+x6=x\sigma(x)=\tfrac{x}2+\tfrac{x}3+\tfrac{x}6=x。