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第4問

正の整数 NN の真の約数とは、NN 自身を除く NN の正の約数のことである。無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots は、それぞれ少なくとも3つの真の約数をもつ正の整数からなる。各 n≥1n\ge1 に対して、整数 an+1a_{n+1} は ana_n の最大の3つの真の約数の和であるとする。a1a_1 としてあり得るすべての値を求めよ。
ステップ 6/8: 中間の場合は数列の中では起こらない
前のステップ次のステップ
v2(x)=1, 5∣x ⟹ σ(x)=3130x is odd, contradicting that every term is evenv_2(x)=1,\,5\mid x\ \Longrightarrow\ \sigma(x)=\tfrac{31}{30}x\ \text{is odd, contradicting that every term is even}
詳しい解説

ある項が 4∤x4\nmid x かつ 5∣x5\mid x(6∣x6\mid x、5∣x5\mid x、v2(x)=1v_2(x)=1)であると仮定する;x=30kx=30k とし kk を奇数とする(v2(x)=1v_2(x)=1 かつ 30=2⋅1530=2\cdot15、1515 が奇数なので v2(k)=0v_2(k)=0 が強制される)。すると σ(x)=3130x=31k\sigma(x)=\tfrac{31}{30}x=31k は2つの奇数の積なので奇数である。しかしステップ3より数列のすべての項は偶数でなければならず、矛盾する。したがってこの中間の場合は aia_i の間で実際には決して起こらない:6∣an6\mid a_n かつ 4∤an4\nmid a_n であれば、自動的に 5∤an5\nmid a_n でもある。