第4問

ステップ3–5により、起こりうる挙動は2つだけである:$4\mid a_n$ のとき $a_{n+1}=\tfrac{13}{12}a_n$、または $4\nmid a_n$ のとき $a_{n+1}=a_n$(この場合ステップ5により必然的に $5\nmid a_n$ でもある)。項がいつまでも $\tfrac{13}{12}$ 倍され続けることはできない(必要な形で $S$ にとどまるための整除構造を保てなくなる)ので、$a_T=a_{T+1}=\cdots$ となりそれ以降定数になる最小の添字 $T$ が存在し、$a_n=a_1\cdot(\tfrac{13}{12})^{\min(n,T)-1}$ となる。$a_T=6\ell$($\ell$ は $10$ と互いに素、$4\nmid a_T$、$5\nmid a_T$、$6\mid a_T$ のため)と書けば、$a_1=(\tfrac{12}{13})^{T-1}a_T=12^{T-1}\cdot6\ell$ を得る。