MathLabs

第5問

アリスとバザは、両者に知られている正の実数 λ\lambda に依存するルールを持つ2人ゲーム inekoalaty game をプレイする。ゲームの第 nn ターン(n=1n=1 から始まる)では次のことが起こる:nn が奇数ならアリスは x1+x2+⋯+xn≤λnx_1+x_2+\cdots+x_n\le\lambda n を満たす非負実数 xnx_n を選ぶ;nn が偶数ならバザは x12+x22+⋯+xn2≤nx_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le n を満たす非負実数 xnx_n を選ぶ。ある選手が適切な数 xnx_n を選べなければ、ゲームは終了しもう一方の選手が勝つ。ゲームが永遠に続くなら、どちらも勝たない。選ばれた数はすべて両選手に知られている。アリスが必勝戦略を持つ λ\lambda の値と、バザが必勝戦略を持つ場合をすべて求めよ。
ステップ 4/4: 結論:1/√2 が正確な閾値である
前のステップ次のステップ
Alice wins  ⟺  λ>12,Bazza wins  ⟺  λ<12\text{Alice wins}\iff\lambda>\tfrac1{\sqrt2},\qquad \text{Bazza wins}\iff\lambda<\tfrac1{\sqrt2}
詳しい解説

ステップ1と3により、アリスがちょうど λ>1/2\lambda>1/\sqrt2 のとき必勝戦略を持ち、バザがちょうど λ<1/2\lambda<1/\sqrt2 のとき必勝戦略を持つことが分かる。λ=1/2\lambda=1/\sqrt2 そのものでは、両方の評価が極限で厳密な不等式ではなく等式になるため、どちらの選手も相手を合法な手切れに追い込むことができない;この境界値はどちらのリストにも属さない。