第6問

重要なのは、異なる2つの黒マスから同じタイルへ写ることがないという幾何学的事実である。タイルは軸に平行な長方形である。同じ方向を使う2つのマスがあれば、その長方形は2つの隣接辺の間の軸平行な帯全体を含むはずだが、$C$ または $A$ の連続するマスを結ぶ折れ線がその帯を横切る。そのため長方形は黒マスを覆うか、領域の境界を横切ることになり、いずれも不可能である。異なる方向の場合、対応する2つの道の弧は $c$ でしか交わらないので、長方形の凸性からやはりタイルはその交点をまたぐ必要があり、共通の出発点として可能なのは $c$ だけである。したがって異なる黒マスからの写像はすべて異なるタイルを指す。最初の写像のうち成功するのは $n-4$ 個である。失敗し得るのは最初の行、最後の行、最初の列、最後の列で各1個だけだからである。$(A\cup C)\setminus\{c\}$ の各マスはさらに1方向を与え、$a+b-2$ 個が増え、$c$ はさらに3方向を与える。よってタイル数は少なくとも $(n-4)+(a+b-2)+3=n+a+b-3$ である。$ab\ge n$ と AM-GM より $a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt n=2k$ なので、タイル数は $n+2k-3$ 以上である。$n=2025=45^2$ ではこの下界は $2025+90-3=2112$ となり、明示構成と一致する。