MathLabs

第6問

2025×20252025\times2025 の単位正方形からなる格子を考える。マティルダはこの格子の上にいくつかの長方形のタイルを置きたい(大きさは異なってもよい);各タイルの各辺は格子線上にあり、各単位正方形は高々1枚のタイルで覆われるものとする。格子のすべての行とすべての列がタイルで覆われていない単位正方形をちょうど1つ持つようにするために、マティルダが置く必要のあるタイルの最小枚数を求めよ。
ステップ 6/6: n = 2025 の場合の結論
2025+2⋅45−3=21122025+2\cdot45-3=2112
詳しい解説

ステップ2と4を合わせると、nn が平方数であるとき最小のタイル枚数はちょうど n+2n−3n+2\sqrt n-3 であることが分かる。n=2025=452n=2025=45^2 のとき、これは 2025+2⋅45−3=21122025+2\cdot45-3=2112 に等しい。