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第2問

ABCABC を三角形とし、点 MM と NN をそれぞれ辺 ABAB と ACAC の中点とする。点 KK と LL をそれぞれ三角形 BMCBMC と BNCBNC の真に内部にとり、KK が三角形 ABLABL の真に内部にあり、LL が三角形 AKCAKC の真に内部にあるようにする。∠KBA=∠ACL\angle KBA=\angle ACL、∠LBK=∠LNC\angle LBK=\angle LNC、∠LCK=∠BMK\angle LCK=\angle BMK が成り立つとする。OO を三角形 AKLAKL の外心とする。OM=ONOM=ON を証明せよ。
ステップ 1/4: 3つの角の条件を共円四角形に翻訳する
前のステップ次のステップ
X:=BK∩AC,Y:=CL∩AB ⟹ BYXC, MYXN, XNLB (ωB), YMKC (ωC) cyclicX:=BK\cap AC,\quad Y:=CL\cap AB\ \Longrightarrow\ BYXC,\ MYXN,\ XNLB\ (\omega_B),\ YMKC\ (\omega_C)\ \text{cyclic}
詳しい解説

有向角と有向長さを用いるので、延長上にある場合の別扱いは不要である。X:=BK∩ACX:=BK\cap AC、Y:=CL∩ABY:=CL\cap AB とおく。最初の条件は ∠YBC=∠KBA=∠ACL=∠XCB\angle YBC=\angle KBA=\angle ACL=\angle XCB を与えるので、等角条件により BYXCBYXC は共円である。中点連結線の関係 MN∥BCMN\parallel BC(△ABC\triangle ABC の中点連結線) と最初の円の割線積の等式から、M,Y を通る直線と N,X を通る直線の積が等しく、従って MYXNMYXN も共円である。次に ∠LBX=∠LBK=∠LNC=∠LNX\angle LBX=\angle LBK=\angle LNC=\angle LNX より XNLBXNLB は共円であり、その外接円を ωB\omega_B と呼ぶ。同様に ∠YCK=∠LCK=∠BMK=∠YMK\angle YCK=\angle LCK=\angle BMK=\angle YMK より YMKCYMKC は共円であり、その外接円を ωC\omega_C と呼ぶ。内部にあるという仮定で必要な点は異なり、有向角により各直線上の順序を問わず扱える。