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第2問

ABCABC を三角形とし、点 MM と NN をそれぞれ辺 ABAB と ACAC の中点とする。点 KK と LL をそれぞれ三角形 BMCBMC と BNCBNC の真に内部にとり、KK が三角形 ABLABL の真に内部にあり、LL が三角形 AKCAKC の真に内部にあるようにする。∠KBA=∠ACL\angle KBA=\angle ACL、∠LBK=∠LNC\angle LBK=\angle LNC、∠LCK=∠BMK\angle LCK=\angle BMK が成り立つとする。OO を三角形 AKLAKL の外心とする。OM=ONOM=ON を証明せよ。
ステップ 4/4: M と N は (AEF) に関して等しい方べきを持ち、OM = ON が従う
前のステップ次のステップ
MA⋅ME=12AM⋅AY=12AN⋅AX=NA⋅NF ⟹ OM2−R2=ON2−R2 ⟹ OM=ONMA\cdot ME=\tfrac12AM\cdot AY=\tfrac12AN\cdot AX=NA\cdot NF\ \Longrightarrow\ OM^2-R^2=ON^2-R^2\ \Longrightarrow\ OM=ON
詳しい解説

MM は ABAB の中点、EE は BYBY の中点なので、直線 ABAB に沿って向きを込めて ME=12AYME=\tfrac12AY;同様に直線 ACAC に沿って NF=12AXNF=\tfrac12AX。共円四角形 MYXNMYXN(ステップ1)からの AM⋅AY=AN⋅AXAM\cdot AY=AN\cdot AX を用いると、円 (AEF)(AEF) に関する MM と NN の方べきは MA⋅ME=12AM⋅AY=12AN⋅AX=NA⋅NFMA\cdot ME=\tfrac12AM\cdot AY=\tfrac12AN\cdot AX=NA\cdot NF を満たす。OO は (AKL)=(AEF)(AKL)=(AEF) の中心、RR はその半径であり、点の方べきは d2−R2d^2-R^2 に等しいので、OM2−R2=ON2−R2OM^2-R^2=ON^2-R^2、よって OM=ONOM=ON を得る。