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第4問

Shan-Yu と Mulan がゲームをしている。0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ を満たす角 θ\theta が両プレイヤーに知られているとする。最初に、Shan-Yu は自分の好きな寸法の紙の三角形 TT を作る。その後、2人は次のステップを繰り返し行う:もし TT がちょうど θ\theta に等しい角を少なくとも1つ持てば、ゲームは終了し Mulan の勝ちとなる;そうでなければ、Mulan は TT の周上の3頂点以外の点 PP を1つ選び、PP から TT の対頂点へまっすぐ切り込みを入れてそれを2つの三角形に分ける;Shan-Yu は2つの三角形のうち一方を捨て、残った三角形が新しい TT となる。Shan-Yu がどのようにプレイしても Mulan が有限回のステップで勝利を保証できるような実数 θ\theta の値をすべて求めよ。
ステップ 2/4: θ = 180°/n のときは常に Mulan が勝つ
前のステップ次のステップ
θ=180∘n (n≥2):∠A=90∘, ∠B≤45∘, 45∘<kθ≤90∘ ⟹ ∠ADC=kθ, ∠ADB=(n−k)θ\theta=\frac{180^\circ}{n}\ (n\ge2):\quad \angle A=90^\circ,\ \angle B\le45^\circ,\ 45^\circ<k\theta\le90^\circ\ \Longrightarrow\ \angle ADC=k\theta,\ \angle ADB=(n-k)\theta
詳しい解説

θ=180∘/n\theta=180^\circ/n を整数 n≥2n\ge2 に対して仮定する。初めの三角形の最大角の頂点を VV とする。その対辺への垂線は対辺の内部で交わる(他の2角は鋭角)ので、これは合法な最初のカットである。どちらを残しても直角三角形になる。残った三角形を ABCABC と呼び直し、∠A=90∘\angle A=90^\circ、さらに B,CB,C を入れ替えて ∠B≤45∘\angle B\le45^\circ とする。n=2n=2 なら θ=90∘=∠A\theta=90^\circ=\angle A なので直ちに勝つ。n≥3n\ge3 なら n/4<k≤n/2n/4<k\le n/2 を満たす整数 kk を選ぶ。n=3n=3 では k=1k=1 とし、n≥4n\ge4 では区間 (n/4,n/2](n/4,n/2] の長さが少なくとも1なので整数を含む。従って 45∘<kθ≤90∘45^\circ<k\theta\le90^\circ である。∠B≤45∘\angle B\le45^\circ だから kθ−∠Bk\theta-\angle B は 0∘0^\circ と 90∘90^\circ の間に厳密にあり、AA から ABAB となす角がこれに等しい半直線は BCBC の内部の点 DD で交わる。△ABD\triangle ABD の外角定理により ∠ADC=∠B+∠BAD=kθ\angle ADC=\angle B+\angle BAD=k\theta。隣り合う角は ∠ADB=180∘−kθ=(n−k)θ\angle ADB=180^\circ-k\theta=(n-k)\theta で、n−k≥1n-k\ge1 である。したがって一方の子 ABDABD には正の整数倍 (n−k)θ(n-k)\theta があり、他方の子 ACDACD には kθk\theta がある。ステップ1により、Shan-Yu がどちらを残しても、この2回のカットだけで勝てる。