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第4問

Shan-Yu と Mulan がゲームをしている。0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ を満たす角 θ\theta が両プレイヤーに知られているとする。最初に、Shan-Yu は自分の好きな寸法の紙の三角形 TT を作る。その後、2人は次のステップを繰り返し行う:もし TT がちょうど θ\theta に等しい角を少なくとも1つ持てば、ゲームは終了し Mulan の勝ちとなる;そうでなければ、Mulan は TT の周上の3頂点以外の点 PP を1つ選び、PP から TT の対頂点へまっすぐ切り込みを入れてそれを2つの三角形に分ける;Shan-Yu は2つの三角形のうち一方を捨て、残った三角形が新しい TT となる。Shan-Yu がどのようにプレイしても Mulan が有限回のステップで勝利を保証できるような実数 θ\theta の値をすべて求めよ。
ステップ 3/4: θ ≠ 180°/n のとき、Shan-Yu は3つの角すべてを永久に安全に保てる
前のステップ次のステップ
θ≠180∘n:∠CDA=180∘−∠ADB,∠DAC=∠A−∠BAD ⟹ a safe triangle cannot be split into two unsafe triangles\theta\ne\frac{180^\circ}{n}:\quad \angle CDA=180^\circ-\angle ADB,\quad \angle DAC=\angle A-\angle BAD\ \Longrightarrow\ \text{a safe triangle cannot be split into two unsafe triangles}
詳しい解説

θ\theta が 180∘/n180^\circ/n の形でないと仮定し、180∘∉Zθ180^\circ\notin\mathbb{Z}\theta とする。角が θ\theta の整数倍でないとき安全と呼ぶ。安全な初期三角形は存在する。実際、(0∘,180∘)(0^\circ,180^\circ) に入る θ\theta の倍数は有限個なので、まず一般的な正の角 AA を選び、BB と 180∘−A−B180^\circ-A-B が有限個の禁止値を避けるように BB を選べばよい。安全な ABCABC を考え、BCBC の内部の DD への合法なカット ADAD で ABDABD と ACDACD を作る。x=∠BADx=\angle BAD、y=∠ADBy=\angle ADB とおく。ABDABD が安全なら Shan-Yu はそれを残す。そうでなければ ∠B\angle B は安全なので、x,yx,y の少なくとも一方が θ\theta の整数倍である。xx がその倍数なら、∠DAC=∠A−x\angle DAC=\angle A-x は(安全な角から倍数を引くので)安全であり、∠CDA=∠B+x\angle CDA=\angle B+x も(安全な角に倍数を足すので)安全である。元の安全な角 CC と合わせて ACDACD は安全になる。yy がその倍数なら、∠CDA=180∘−y\angle CDA=180^\circ-y は 180∘180^\circ が倍数でないので安全であり、∠DAC=y−∠C\angle DAC=y-\angle C も ∠C\angle C が安全なので安全である。従ってこの場合も ACD は安全である。よって毎回 Shan-Yu は安全な子を残せ、帰納的に有限回のカット後も安全な三角形が残る。どの三角形も θ\theta の角を持たず、Mulan は勝利を強制できない。