第5問

\mathbb{R}_{>0}

を正の実数全体の集合とする。すべての

x,y\in\mathbb{R}_{>0}

に対して

\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}

を満たす関数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

をすべて求めよ。

ステップ 1/4: すべての c ≥ 0 に対して f(x) = x + c が条件を満たすことの確認

前のステップ次のステップ

f(x)=x+c\ (c\ge0):\qquad \sqrt{\frac{x^2+(y+c)^2}{2}}\ge\frac{x+(y+c)}{2}\ge\sqrt{x(y+c)}

詳しい解説

$c\ge0$ に対する $f(x)=x+c$ では、 $\mathbb{R}_{>0}$ 上で $f(x)>0$ かつ $\tfrac{f(x)+y}{2}=\tfrac{x+f(y)}{2}$ となるので、与えられた不等式の鎖は正の実数 $a=x$ と $b=f(y)=y+c$ に対する標準的なQM–AM–GM不等式 $\sqrt{\tfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\tfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ に帰着する。