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第5問

R>0\mathbb{R}_{>0} を正の実数全体の集合とする。すべての x,y∈R>0x,y\in\mathbb{R}_{>0} に対して x2+f(y)22≥f(x)+y2≥xf(y)\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)} を満たす関数 f:R>0→R>0f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0} をすべて求めよ。
ステップ 2/4: f による各軌道は等差数列をなす
前のステップ次のステップ
x=f(t), y=t ⟹ f(t)≥f(f(t))+t2≥f(t) ⟹ fn(t)=t+n d(t),d(t):=f(t)−t≥0x=f(t),\ y=t\ \Longrightarrow\ f(t)\ge\frac{f(f(t))+t}{2}\ge f(t)\ \Longrightarrow\ f^n(t)=t+n\,d(t),\quad d(t):=f(t)-t\ge0
詳しい解説

x=f(t)x=f(t)、y=ty=t とおくと x=f(y)x=f(y) となり、両端の式がともに f(t)f(t) に等しくなって f(f(t))+t2=f(t)\tfrac{f(f(t))+t}{2}=f(t)、すなわち f(f(t))−f(t)=f(t)−tf(f(t))-f(t)=f(t)-t が挟み撃ちで得られる。これをすべての n≥1n\ge1 に対して fn−1(t)f^{n-1}(t) に適用すると、軌道 (t,f(t),f2(t),…)(t,f(t),f^2(t),\ldots) は公差 d(t):=f(t)−td(t):=f(t)-t の等差数列であり、fn(t)=t+n d(t)f^n(t)=t+n\,d(t) となる。すべての n≥1n\ge1 で fn(t)>0f^n(t)>0 なので、すべての t>0t>0 で d(t)≥0d(t)\ge0 でなければならない。