第5問

\mathbb{R}_{>0}

を正の実数全体の集合とする。すべての

x,y\in\mathbb{R}_{>0}

に対して

\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}

を満たす関数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

をすべて求めよ。

ステップ 3/4: 正の公差はすべて等しくなければならない

前のステップ次のステップ

\frac{(x+(m+1)A)+(y+nB)}{2}\ge\sqrt{(x+mA)(y+(n+1)B)}\ \Longleftrightarrow\ \bigl(\sqrt{x+mA}-\sqrt{y+(n+1)B}\bigr)^2\ge B-A

詳しい解説

$x,y>0$ が $A:=d(x)>0$ と $B:=d(y)>0$ を満たすとする。右側の不等式 $\tfrac{f(u)+v}{2}\ge\sqrt{uf(v)}$ を $u=f^m(x)=x+mA$ と $v=f^n(y)=y+nB$ に適用し( $f(u)=x+(m+1)A$ 、 $f(v)=y+(n+1)B$ を用いる)整理すると、 $\bigl(\sqrt{x+mA}-\sqrt{y+(n+1)B}\bigr)^2\ge B-A$ を得る。もし $B>A$ なら、すべての $m,n\ge1$ に対して $\sqrt{x+mA}$ と $\sqrt{y+(n+1)B}$ は少なくとも $\sqrt{B-A}>0$ だけ離れていなければならない;しかし $m\to\infty$ のとき数列 $\sqrt{x+mA}$ は隣接項の差 $\sqrt{x+(m+1)A}-\sqrt{x+mA}\to0$ を伴って $\infty$ に発散するので、大きな $n$ に対して $\sqrt{y+(n+1)B}$ から $\sqrt{B-A}$ 未満の距離を通過し矛盾する。よって $B\le A$ 、対称性より $A=B$ となる。したがって単一の定数 $D\ge0$ が存在して、すべての $x>0$ で $f(x)\in\{x,x+D\}$ となる。