第5問

\mathbb{R}_{>0}

を正の実数全体の集合とする。すべての

x,y\in\mathbb{R}_{>0}

に対して

\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}

を満たす関数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

をすべて求めよ。

ステップ 4/4: 不動点の混在を排除して結論を得る

前のステップ次のステップ

f(x)=x+D,\ f(y)=y,\ D>0\ \Longrightarrow\ |x-y|>D\ \Longrightarrow\ f(t)=t+D\ \text{for all }t>0

詳しい解説

$f$ が恒等関数なら $c=0$ で成り立つ;そうでなければ $D>0$ であり、ある $x>0$ で $f(x)=x+D$ となる。ある $y>0$ で $f(y)=y$ となるとき、もし $y<x\le y+D$ なら $(x,y)$ における左側の不等式より $x>\sqrt{\tfrac{x^2+y^2}{2}}=\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}=\tfrac{x+(y+D)}{2}\ge x$ となり矛盾し、もし $x<y\le x+D$ なら $(y,x)$ における右側の不等式より $y>\tfrac{y+x}{2}=\tfrac{f(y)+x}{2}\ge\sqrt{yf(x)}=\sqrt{y(x+D)}\ge y$ となりやはり矛盾する。したがって $f(x)=x+D$ ならばすべての $t\in[x-D,x+D]\cap\mathbb{R}_{>0}$ で $f(t)=t+D$ が強制され、この区間を段階的に広げることで $\mathbb{R}_{>0}$ 全体が覆われる。よって解は任意の定数 $c\ge0$ に対する $f(x)=x+c$ に限られる。