第6問

正の整数 $x$ に対し、$\operatorname{rad}(x)$ で $x$ の相異なる素因数の積を表す。数列の貪欲な定義により、整数 $x\ge a_1$ が数列に現れるための必要十分条件は、$a_i<x$ なるすべての $i$ で $\gcd(x,a_i)>1$ が成り立つことである。$m\le n$ かつ $\operatorname{rad}(a_m)\mid\operatorname{rad}(a_n)$ のとき $a_m\preceq a_n$ と定めることで数列上に半順序を入れる。$a_m\preceq a_i$ のとき、$\gcd(x,a_m)$ を割り切る素数はすべて $a_i$ も割り切るので、$\gcd(x,a_m)>1$ ならば自動的に $\gcd(x,a_i)>1$ となる。したがって $x\ge a_1$ が数列に現れるための必要十分条件は、すべての $\preceq$-極小な項 $a_i<x$ に対して $\gcd(x,a_i)>1$ が成り立つことである。