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モデル理論 モデル理論は、数学的構造 M = ( M , … ) \mathcal{M} = (M, \dots) M = ( M , … ) M ⊨ φ \mathcal{M} \models \varphi M ⊨ φ
直観 理論の「モデル」とは何か? 群論の公理(「単位元が存在する」「すべての元は逆元を持つ」など)は特定の一つの群を記述するのではなく、構造のクラス を記述する:( Z , + , 0 ) (\mathbb{Z}, +, 0) ( Z , + , 0 ) ( R × , × , 1 ) (\mathbb{R}^{\times}, \times, 1) ( R × , × , 1 ) 構造 とは、集合 M M M 領域 )と、ある言語の定数・関数・関係の解釈の組である。それがある理論の公理をすべて真にするとき、その理論のモデル であるという。モデル理論は構造を外側から研究し、どの文がそれらを区別するか、そしてどの構造が一階の文だけでは密かに区別不可能であるかを問う。
初等部分構造の辺 N ⪯ M \mathcal{N} \preceq \mathcal{M} N ⪯ M M 0 ⊆ M 1 ⊆ ⋯ \mathcal{M}_0 \subseteq \mathcal{M}_1 \subseteq \cdots M 0 ⊆ M 1 ⊆ ⋯ 大学 構造とタルスキの充足関係 定義: 一階構造と充足関係
言語 L \mathcal{L} L M = ( M , … ) \mathcal{M} = (M, \dots) M = ( M , … ) M M M L \mathcal{L} L < < < M M M L \mathcal{L} L φ \varphi φ M ⊨ φ \mathcal{M} \models \varphi M ⊨ φ M \mathcal{M} M φ \varphi φ φ \varphi φ M \mathcal{M} M φ \varphi φ ∧ , ∨ , ¬ \wedge, \vee, \neg ∧ , ∨ , ¬ ∀ x ψ \forall x\, \psi ∀ x ψ ∃ x ψ \exists x\, \psi ∃ x ψ M M M L \mathcal{L} L 初等同値 であるといい、M ≡ N \mathcal{M} \equiv \mathcal{N} M ≡ N
M ⊨ φ iff φ holds in M under Tarski’s recursive clauses \mathcal{M} \models \varphi \quad \text{iff} \quad \varphi \text{ holds in } \mathcal{M} \text{ under Tarski's recursive clauses} M ⊨ φ iff φ holds in M under Tarski’s recursive clauses 関連するがより強い概念として初等部分構造 がある:N ⪯ M \mathcal{N} \preceq \mathcal{M} N ⪯ M N ⊆ M N \subseteq M N ⊆ M L \mathcal{L} L N N N L \mathcal{L} L M \mathcal{M} M N \mathcal{N} N N N N
N ⪯ M ⟺ ∀ ψ ( x , y ˉ ) ∀ a ˉ ∈ N ( ∃ b ∈ M M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) → ∃ b ∈ N M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) ) \mathcal{N} \preceq \mathcal{M} \iff \forall \psi(x,\bar y)\, \forall \bar a \in N\, \big(\exists b \in M\, \mathcal{M}\models\psi(b,\bar a) \to \exists b \in N\, \mathcal{M}\models\psi(b,\bar a)\big) N ⪯ M ⟺ ∀ ψ ( x , y ˉ ) ∀ a ˉ ∈ N ( ∃ b ∈ M M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) → ∃ b ∈ N M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) ) 構造間の3種類の関係 関係 定義 例 同型 M ≅ N \mathcal{M} \cong \mathcal{N} M ≅ N すべての関数・関係を保つ全単射 M → N M \to N M → N ( Z , + ) ≅ ( 2 Z , + ) (\mathbb{Z},+) \cong (2\mathbb{Z},+) ( Z , + ) ≅ ( 2 Z , + ) 初等同値 M ≡ N \mathcal{M} \equiv \mathcal{N} M ≡ N 同じ一階の文が真、領域の大きさは異なりうる R \mathbb{R} R ∗ R ^{*}\mathbb{R} ∗ R 初等部分構造 N ⪯ M \mathcal{N} \preceq \mathcal{M} N ⪯ M パラメータを持つすべての論理式について周囲の構造と一致する部分構造 非可算モデルの可算な N ⪯ M \mathcal{N} \preceq \mathcal{M} N ⪯ M
発展 2つの柱:コンパクト性とレーヴェンハイム・スコーレム L \mathcal{L} L Σ \Sigma Σ Σ 0 ⊆ Σ \Sigma_0 \subseteq \Sigma Σ 0 ⊆ Σ Σ \Sigma Σ
なぜ正しいのか? これは驚くべきことである:Σ \Sigma Σ
証明 対偶を証明する:Σ \Sigma Σ Σ 0 ⊆ Σ \Sigma_0 \subseteq \Sigma Σ 0 ⊆ Σ
Σ \Sigma Σ Σ ⊨ ⊥ \Sigma \models \bot Σ ⊨ ⊥ Σ ⊢ ⊥ \Sigma \vdash \bot Σ ⊢ ⊥ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ Σ ⊢ ⊥ \Sigma \vdash \bot Σ ⊢ ⊥ Σ \Sigma Σ
形式的導出は定義により、各行が公理、Σ \Sigma Σ 有限 列である。⊥ \bot ⊥ Σ \Sigma Σ Σ 0 = { σ 1 , … , σ n } ⊆ Σ \Sigma_0 = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\} \subseteq \Sigma Σ 0 = { σ 1 , … , σ n } ⊆ Σ
Σ 0 \Sigma_0 Σ 0 Σ 0 ⊢ ⊥ \Sigma_0 \vdash \bot Σ 0 ⊢ ⊥ Σ 0 ⊨ ⊥ \Sigma_0 \models \bot Σ 0 ⊨ ⊥ Σ 0 \Sigma_0 Σ 0
こうしてモデルを持たない有限な Σ 0 ⊆ Σ \Sigma_0 \subseteq \Sigma Σ 0 ⊆ Σ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ
L \mathcal{L} L M \mathcal{M} M L \mathcal{L} L M \mathcal{M} M N \mathcal{N} N N ⪯ M \mathcal{N} \preceq \mathcal{M} N ⪯ M N N N N \mathcal{N} N
なぜ正しいのか? これは一階論理が濃度を確定できないことを示す:無限モデルを持つどんな理論(体の公理、集合論の公理など)も、元のモデルがどれほど「大きく」構成されていたとしても、すでに可算モデルを持つ。上方版(任意の無限モデルはより大きい任意の濃度への初等拡大を持つ)と組み合わせると、これがスコーレムのパラドックスの源である——可算な構造が、非可算性を内側から「主張する」文も含め、非可算な構造とまったく同じ一階の文を満たしうる。
証明 M M M N N N タルスキ・ヴォート判定法 を用いる:部分集合 N ⊆ M N \subseteq M N ⊆ M L \mathcal{L} L ψ ( x , y ˉ ) \psi(x, \bar{y}) ψ ( x , y ˉ ) N N N a ˉ \bar{a} a ˉ b ∈ M b \in M b ∈ M M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) \mathcal{M} \models \psi(b, \bar{a}) M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) b ∈ N b \in N b ∈ N
L \mathcal{L} L ψ ( x , y ˉ ) \psi(x,\bar y) ψ ( x , y ˉ ) M M M X 0 ⊆ M X_0 \subseteq M X 0 ⊆ M X n X_n X n ψ ( x , y ˉ ) \psi(x,\bar y) ψ ( x , y ˉ ) X n X_n X n a ˉ \bar a a ˉ X n X_n X n L \mathcal{L} L ∃ b ∈ M M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) \exists b \in M\, \mathcal{M} \models \psi(b,\bar a) ∃ b ∈ M M ⊨ ψ ( b , a ˉ ) b b b X n + 1 X_{n+1} X n + 1 X n + 1 X_{n+1} X n + 1
N = ⋃ n < ω X n N = \bigcup_{n<\omega} X_n N = ⋃ n < ω X n N N N X 0 ⊆ N X_0 \subseteq N X 0 ⊆ N N N N N N N ψ ( x , y ˉ ) \psi(x,\bar y) ψ ( x , y ˉ ) a ˉ \bar a a ˉ a ˉ \bar a a ˉ X n X_n X n ψ ( b , a ˉ ) \psi(b, \bar a) ψ ( b , a ˉ ) b ∈ M b \in M b ∈ M X n + 1 X_{n+1} X n + 1 X n + 1 ⊆ N X_{n+1} \subseteq N X n + 1 ⊆ N
タルスキ・ヴォート判定法により、N N N L \mathcal{L} L N \mathcal{N} N N ⪯ M \mathcal{N} \preceq \mathcal{M} N ⪯ M N \mathcal{N} N
発展 実世界での応用と具体例 タルスキは、実閉体 の理論 R C F \mathrm{RCF} RCF R \mathbb{R} R 量化子消去 を許すことを証明した:すべての論理式は、R C F \mathrm{RCF} RCF R C F \mathrm{RCF} RCF R \mathbb{R} R n n n 0 < ε < 1 / n 0 < \varepsilon < 1/n 0 < ε < 1/ n ε \varepsilon ε ∗ R ^{*}\mathbb{R} ∗ R 超準解析 の出発点である。R C F \mathrm{RCF} RCF o-最小性 として抽象化され、これは今や数論幾何学における「起こりそうにない交叉」の結果(ピラ・ザンニエの方法)の中心的な枠組みとなっている。
例: タルスキの量化子消去の実例
実数上で ∃ x ( a x 2 + b x + c = 0 ) \exists x\, (a x^2 + bx + c = 0) ∃ x ( a x 2 + b x + c = 0 ) a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 a , b , c a, b, c a , b , c
解答 2次方程式の解の公式により、a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 x x x b 2 − 4 a c ≥ 0 b^2 - 4ac \ge 0 b 2 − 4 a c ≥ 0
よって ∃ x ( a x 2 + b x + c = 0 ) \exists x\, (ax^2+bx+c=0) ∃ x ( a x 2 + b x + c = 0 ) b 2 − 4 a c ≥ 0 b^2 - 4ac \ge 0 b 2 − 4 a c ≥ 0 a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 x x x a , b , c a,b,c a , b , c
これはタルスキの一般定理の一事例である:順序体の言語のすべての論理式は、自由変数に関する多項式の等式・不等式のブール結合に、量化子を全く含まずに同値である。この消去は一様 かつ実効的 であり——実際のアルゴリズムが任意の複雑さの論理式に対してそれを計算する。これが RCF が決定可能な理論である理由である。
例: コンパクト性による無限小の構成
R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R ε \varepsilon ε { 0 < ε < 1 / n : n = 1 , 2 , 3 , … } \{0 < \varepsilon < 1/n : n = 1,2,3,\dots\} { 0 < ε < 1/ n : n = 1 , 2 , 3 , … } Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ
解答 任意の有限な Σ 0 ⊆ Σ \Sigma_0 \subseteq \Sigma Σ 0 ⊆ Σ 0 < ε < 1 / n 0 < \varepsilon < 1/n 0 < ε < 1/ n n ≤ N n \le N n ≤ N R \mathbb{R} R ε \varepsilon ε 1 / ( N + 1 ) 1/(N+1) 1/ ( N + 1 ) n ≤ N n \le N n ≤ N 0 < ε < 1 / n 0 < \varepsilon < 1/n 0 < ε < 1/ n n ≤ N n \le N n ≤ N 1 / ( N + 1 ) < 1 / n 1/(N+1) < 1/n 1/ ( N + 1 ) < 1/ n R \mathbb{R} R Σ 0 \Sigma_0 Σ 0
すべての有限な Σ 0 ⊆ Σ \Sigma_0 \subseteq \Sigma Σ 0 ⊆ Σ Σ \Sigma Σ ∗ R ^{*}\mathbb{R} ∗ R
このモデルにおいて、ε \varepsilon ε すべての 正の整数 n n n 0 < ε < 1 / n 0 < \varepsilon < 1/n 0 < ε < 1/ n 1 / ( N + 1 ) 1/(N+1) 1/ ( N + 1 ) n = N + 1 n=N+1 n = N + 1 ε \varepsilon ε ∗ R ∖ R ^{*}\mathbb{R} \setminus \mathbb{R} ∗ R ∖ R 1 / n 1/n 1/ n 0 0 0 ∗ R ^{*}\mathbb{R} ∗ R R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R
よくある誤り. 初等同値 M ≡ N \mathcal{M} \equiv \mathcal{N} M ≡ N R \mathbb{R} R M = ( M , … ) \mathcal{M} = (M, \dots) M = ( M , … ) R \mathbb{R} R 歴史的ノート
クルト・ゲーデルの1929年の博士論文は一階論理に対する完全性定理を証明し、意味論的妥当性と構文的証明可能性が一致することを示した。上のコンパクト性定理はほとんど直接的な系であり、その直後にこの形で明示的に初めて述べられた。レオポルド・レーヴェンハイム(1915年)とトアルフ・スコーレム(1920年、1922年、1929年)は、後にレーヴェンハイム・スコーレムの定理となるものの特殊な場合をすでに確立していた。そしてアルフレト・タルスキの1930年代の真理と定義可能性に関する研究(実閉体に対する量化子消去を含み、1948年/1951年に発表)が、これらの道具を今日モデル理論と呼ばれる体系的な分野へと変えた。
クルト・ゲーデル
研究の最前線 2026年時点
o-最小性 ——R C F \mathrm{RCF} RCF
文の集合 Σ \Sigma Σ
Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ 何も結論できない 下方のレーヴェンハイム・スコーレムの定理はどの主要な道具を使って証明されるか?
タルスキ・ヴォート判定法 モーダストレンス ド・モルガンの法則 真理値表
R C F \mathrm{RCF} RCF ∃ x ( a x 2 + b x + c = 0 ) \exists x\, (ax^2+bx+c=0) ∃ x ( a x 2 + b x + c = 0 ) a ≠ 0 a \ne 0 a = 0
b 2 − 4 a c ≥ 0 b^2 - 4ac \ge 0 b 2 − 4 a c ≥ 0 b 2 − 4 a c = 0 b^2 - 4ac = 0 b 2 − 4 a c = 0 a + b + c = 0 a + b + c = 0 a + b + c = 0 a > 0 a > 0 a > 0 なぜスコーレムのパラドックスは真の矛盾ではないのか?
「非可算」はモデルに相対的にしか表現できず、可算モデルは外部からその可算性を証拠立てる全単射を欠いていることがある 実際には矛盾であり、集合論は矛盾している コンパクト性は非可算言語に対して偽である 可算集合と非可算集合は実は同じ大きさである