等差数列に関するエルデシュ予想

既知の最良の結果

• $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$ を満たす任意の集合 $A$ は無限に多くの $3$ 項等差数列を含む（ブルーム、シサスク、2020年）。
• $3$ 項等差数列に対する準多項式上界 $r_3(N) \le \exp(-c (\log N)^{1/9}) N$（ケリー・メカ、2023年；ブルーム・シサスク、2023年）。
• $k \ge 5$ に対し、改良された逆定理の評価により $r_k(N) \le N \exp(-(\log \log N)^{c_k})$ が成り立つ（レン、サー、ソーニー、2024年）。

使われた手法と限界

未解決の問い

• $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$ を満たす $\mathbb{Z}^+$ のすべての部分集合は $4$ 項等差数列（$k = 4$）を含むか。
• すべての $k \ge 4$ に対して評価 $r_k(N) \ll N / (\log N)^{1 + \varepsilon}$ が成り立つか。