エルデシュ–シュトラウス予想

既知の最良の結果

• ヴォーン(1970年):$4/n = 1/x + 1/y + 1/z$ が解を持たない整数 $n \le N$ の個数は高々 $O(N \exp(-c (\log N)^{2/3}))$ である。
• エルショルツとタオ(2013年):素数 $p \le N$ にわたる解の平均個数は $c_1 \log^2 N$ と $c_2 \log^2 N \log \log N$ の間に挟まれる。
• サレ(2014年):コンピュータ検証により、$n \le 10^{17}$ の範囲に反例が存在しないことが確認されている。

使われた手法と限界

未解決の問い

• $p \equiv 1 \pmod{24}$ を満たすすべての素数は、正の整数による表現 $4/p = 1/x + 1/y + 1/z$ を持つか。
• シンツェルの一般化――任意の固定された $m \ge 4$ に対して、十分大きなすべての $n$ で $m/n = 1/x + 1/y + 1/z$ が可解であるという主張――は成り立つか。