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未解決問題、算術と数論、1640年に提起

フェルマー素数の有限性

未解決

フェルマー数 Fn=22n+1F_n = 2^{2^n}+1 のうち素数であるものは有限個しかない——実際には、既知の5個のフェルマー素数 F0=3F_0=3、F1=5F_1=5、F2=17F_2=17、F3=257F_3=257、F4=65537F_4=65537 がそのすべてである——と予想されている。もっともフェルマー自身は当初、すべての FnF_n が素数だと信じていた。

提起者, 1640ピエール・ド・フェルマー
研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、F5F_5 から F32F_{32} まではすべて合成数であることが証明されており(ペパンのテストまたは明示的な因数による)、広範な分散探索にもかかわらず F4F_4 を超えるフェルマー素数は一つも見つかっていない。標準的なヒューリスティック——FnF_n を同じ大きさのランダムな数と同程度の確率で「素数」とみなす——によれば、F4F_4 を超えるさらなるフェルマー素数の期待個数はおよそ 3×10−103\times 10^{-10}、事実上ゼロと予測されるが、これは存在しないことの証明ではない。

既知の最良の結果

  • すべての 5≤n≤325 \le n \le 32 について FnF_n は合成数であることが証明されている。完全な素因数分解が知られているのは n≤11n \le 11 の場合のみである。
  • F4F_4 を超えるフェルマー素数のヒューリスティックによる期待個数は、素数性を確率 ≈1/ln⁡Fn\approx 1/\ln F_n の独立なランダム事象とみなすことに基づき、およそ 3×10−103\times 10^{-10} である。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
ペパンのテスト指定された任意の一つのフェルマー数について、どれほど大きくても、高速かつ決定的に合成数か素数かを判定できる。有限個の個別の候補を判定できるにすぎず、未検査の添字の中に任意に遠く現れる素数の存在を排除することはできない。
分散因数探索(PrimeGrid、Proth Search)巨大な合成フェルマー数の明示的な素因数(指数が数百万に達するものも含む)を発見し、完全な因数分解なしにそれらが合成数であることを確認する。ある深さまで探索して FnF_n に因数が見つからなくても、それが素数か合成数かを証明したことにはならず、因数探索は未検査の無限個の添字を網羅できない。

未解決の問い

  • 条件付きであっても、フェルマー素数が有限個しか存在しないという証明は存在するか。
  • 2026年時点で未解決の状態にある最小のフェルマー数 F33F_{33} は、素数か合成数か。

参考文献

  1. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry
  2. Wilfrid Keller (2024). Fermat factoring status