未解決問題、算術と数論、1742年に提起

ゴールドバッハ予想

未解決ランダウ #1

偶数 $n>2$ はすべて、2つの素数の和として書ける: $n = p_1 + p_2$ 。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、(二素数・強)ゴールドバッハ予想は未解決である。それに対する最も強い無条件の結果は依然として陳の定理(1973年)であり、十分大きいすべての偶数は $p + P_2$ 、すなわち素数と高々2個の素因数を持つ数の和である。三素数予想(5より大きいすべての奇数は3つの素数の和である)は完全に証明されている:ヘルフゴットの2012–2013年のarXiv論文群(The ternary Goldbach conjecture is true, arXiv:1312.7748 で完結)はモノグラフ The Ternary Goldbach Problem(Annals of Mathematics Studies、プリンストン大学出版局より刊行予定)としてまとめられつつあり、完成した定理として受け入れられているが、これは二素数の場合を含意しない。計算面では、二素数予想は $4\times10^{18}$ までのすべての偶数について検証されており(オリヴェイラ・エ・シウヴァ、ヘルツォーク、パルディ、2014年)、反例は見つかっていない。

既知の最良の結果

陳の定理(1973年):十分大きいすべての偶数は $p + P_2$ (素数と高々2個の素数の積の和)である。
三素数ゴールドバッハ予想は、5より大きいすべての奇数 $n$ について無条件に完全に証明されている(ヘルフゴット、2013年、arXiv:1312.7748;Annals of Mathematics Studies よりモノグラフ刊行予定)。
$4\times10^{18}$ までのすべての偶数についてコンピュータで検証され、例外は見つかっていない(オリヴェイラ・エ・シウヴァ、ヘルツォーク、パルディ、2014年)。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
篩法(陳景潤の切り替え原理)	十分大きい偶数を $p + P_2$ という、余分な素因数が高々1個であるほぼ目標に近い形まで到達させる。	篩理論における「パリティ問題」により、これらの手法だけでは素数と半素数を区別できず、 $P_2$ を1個の素数にまで絞り込むことができない。
円周法(ハーディ–リトルウッド/ヴィノグラードフ)	主要弧と副次弧を明示的に制御することで、5より大きいすべての奇数 $n$ について三素数の場合を無条件に完全解決する(ヘルフゴット、2013年)。	和をちょうど2個の素数に一致させるには、現在の手法が提供するよりもはるかに精密な副次弧の制御が必要であり、二素数の場合には到達しない。
大規模コンピュータ検証	$4\times10^{18}$ 未満に反例が存在しないことを確認する(オリヴェイラ・エ・シウヴァ、ヘルツォーク、パルディ、2014年)。	無限に存在するすべての偶数に関する主張を証明することは決してできず、検証済みの範囲内で反例を排除できるだけである。

未解決の問い

陳の $p + P_2$ という結果を、実際に2個の素数にまで絞り込むことは可能か、それとも篩理論のパリティ問題は、真に新しい発想を必要とする根本的な障壁なのか。
三素数の場合のために開発された主要弧の制御を、新しい篩の入力と組み合わせることで、二素数予想に進展をもたらすよう応用できるか。

参考文献

Chen Jingrun (1973). On the Representation of a Larger Even Integer as the Sum of a Prime and the Product of at Most Two Primes · DOI:10.1142/9789812776600_0021
Harald Andrés Helfgott (2013). The ternary Goldbach conjecture is true · arXiv:1312.7748 [プレプリント・未査読]
Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi (2014). Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot10^{18}$ · DOI:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1