ヒルベルトの第16問題

2026年現在、ヒルベルトの第16問題は未解決のままである。力学系に関する後半部分(スメイルの第13問題でもある)では、個別の有限性問題——単一の多項式ベクトル場 $\dot{x}=P(x,y)$, $\dot{y}=Q(x,y)$ が無限個のリミットサイクルを持ちうるか——はユリ・イリヤシェンコ(1991年)とジャン・エカル(1992年)によって否定的に解決された。彼らはリミットサイクルがポリサイクルに集積しえないことを証明することで、1923年のデュラックの論文に1981年に見つかった欠陥を克服した。しかし、次数 $n$ のすべての多項式系にわたるリミットサイクル数の上限である一様上界 $H(n)$ は、いかなる $n \ge 2$ に対しても有限であるかどうかすら分かっていない。2次系($n=2$)でさえ、史松齢(1980年)が4つのリミットサイクルを持つ例を構成し $H(2)=4$ と広く予想されているものの、$H(2)<\infty$ の証明をポアンカレ球面上の121個の退化グラフィックの有限巡回性の検証へと帰着させたデュモルティエ–ルサリー–ルソーのプログラムはまだ完結していない。一般の $n$ に対する下界は少なくとも $H(n) = \Omega(n^2 \log n)$ のオーダーで増大する(クリストファー–ロイド、1995年)。実代数幾何に関する前半部分では、非特異平面曲線のイソトピー配置は次数 $n \le 7$ まで完全に分類されているが、次数 $8$ 以上は未解決である。