ヒルベルトの第6問題

2026年現在、ヒルベルトの第6問題は部分的に解決されている。確率論の部門は1933年のコルモゴロフの測度論的公理によって完全に解決されており、古典的な気体分子運動論の部門——原子論的なニュートン力学から連続体流体力学を導出する課題——は2024–2025年に歴史的なブレイクスルーを迎えた。1975年のランフォードの定理から50年間、ボルツマン–グラッド極限 $N\varepsilon^{d-1}=1$ にある $N$ 個の剛体球からボルツマン方程式を厳密に導出する試みは、再衝突履歴が階乗的に増大するため平均自由時間の数分の1未満に閉じ込められていた。2024年11月および2025年3月に公開されたプレプリント(arXiv:2503.01800)において、鄧煜、ザヘル・ハニ、馬驍は層別クラスター展開と木の枝刈りスキームを導入し、対象となるボルツマン方程式の解が滑らかである限り任意の巨視的時間区間にわたって $\mathbb{T}^3$ 上の再衝突を制御することに成功した。さらにこれを流体力学的スケーリング極限と連結することで、ニュートンの運動法則から直接、圧縮性オイラー方程式と非圧縮ナビエ–ストークス–フーリエ方程式を導出し、時間反転対称な粒子衝突からいかにして巨視的な時間非可逆性が現れるかを数学的に解明した。一方、物理学全体(とりわけ4次元の相互作用する場の量子論や量子重力)を公理化するというより広範な目標は未解決のままである。