ヒルベルトの第12問題

2026年現在、ヒルベルトの第12問題はいくつかの主要な領域——$\mathbb{Q}$ 上(クロネッカー–ウェーバー)、虚二次体上(古典的虚数乗法論)、大域関数体上(ドリンフェルト、1974年)、そして $p$ 進解析的な定式化のもとでのすべての総実代数体上(ダスグプタ–カクデ、2021–2023年)——において解決されている一方、本来の複素解析的な形や、実埋め込みと複素埋め込みの両方を持つ一般の代数体に対しては未解決のままである。ダスグプタとカクデは、群環値ヒルベルト・モジュラー・アイゼンシュタイン級数に対するリベットの手法とリッター–ヴァイス加群を用いて総実体 $F$ に対するブルマー–スターク予想および整数版グロス–スターク予想を証明し、$p$ 進乗法的積分から構成されるブルマー–スターク $p$ 単数(と $[F:\mathbb{Q}]-1$ 個の平方根)が $F^{\mathrm{ab}}$ を生成することを示した。また、アンリ・ダルモン、サミット・ダスグプタ、ヤン・フォンクらによる $p$ 進上半平面上のリジッド有理型コサイクルに関する並行した研究は、実二次体に対してモジュラー $j$ 不変量の見事な $p$ 進類似を与えている。実二次体や混合符号を持つ代数体に対する純粋にアルキメデス的(複素解析的)な生成元、あるいはアルキメデス的スターク予想の無条件証明にはまだ手が届いていない。