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未解決問題、解析学、1949年に提起

不変部分空間問題

未解決

次元が dim⁡H=∞\dim H = \infty である複素可分ヒルベルト空間を HH とし、T:H→HT : H \to H を有界線形作用素とする。このとき、TT のもとで不変な（すなわち T(W)⊆WT(W) \subseteq W を満たす）非自明な閉線形部分空間 W⊂HW \subset H（すなわち W≠{0}W \neq \{0\} かつ W≠HW \neq H）は常に存在するか。

提起者, 1949ジョン・フォン・ノイマン
研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、無限次元可分複素ヒルベルト空間に対する不変部分空間問題は未解決のままである。正規作用素、コンパクト作用素および多項式的コンパクト作用素、コンパクト作用素と可換な作用素、亜正規作用素、スペクトルが単位円周 T\mathbb{T} を含む縮小作用素など、幅広い作用素のクラスに対して肯定的な結果が知られている。2023年にペール・エンフロ（`arXiv:2305.15442`）およびチャールズ・W・ネヴィル（`arXiv:2307.08176`）によって公開された可分ヒルベルト空間における肯定的解決を主張するプレプリントは、査読による確認には至っていない。

既知の最良の結果

  • ロモノーソフ（1973年）：非零コンパクト作用素と可換なバナッハ空間上のすべての非スカラー有界作用素は、非自明な閉超不変部分空間を持つ。
  • スコット・ブラウン（1978年）およびブラウン・シュヴロー・ピアシー（1988年）：ヒルベルト空間上のすべての亜正規作用素、およびスペクトル σ(T)\sigma(T) が単位円周 T\mathbb{T} を含むすべての縮小作用素 TT は非自明な閉不変部分空間を持つ。
  • エンフロ（1976/1987年）およびリード（1985年）：（ℓ1\ell^1 を含む）可分バナッハ空間上には、非自明な閉不変部分空間を持たない有界線形作用素が存在する。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
シャウダーの不動点定理とコンパクト近似（ロモノーソフの手法）非零コンパクト作用素と可換な作用素に対する超不変部分空間の存在を証明したHH 上の多くの有界作用素はいかなる非零コンパクト作用素とも可換でない
スコット・ブラウンの双対環および H∞H^\infty 関数計算の手法亜正規作用素および T\mathbb{T} 上に豊かなスペクトルを持つ縮小作用素に対して問題を解決した一般の準べき零作用素には適用できない豊かな H∞H^\infty 関数計算やスペクトル集合の構造を必要とする

未解決の問い

  • 無限次元可分ヒルベルト空間上のすべての準べき零有界線形作用素 TT（すなわち σ(T)={0}\sigma(T) = \{0\}）は非自明な閉不変部分空間を持つか。
  • 1<p<∞1 < p < \infty（p≠2p \neq 2）に対する回帰的数列空間 ℓp\ell^p 上のすべての有界線形作用素は非自明な閉不変部分空間を持つか。

参考文献

  1. Victor I. Lomonosov (1973). Invariant subspaces for the family of operators which commute with a completely continuous operator · DOI:10.1007/BF01078890
  2. Per Enflo (1987). On the invariant subspace problem for Banach spaces · DOI:10.1007/BF02392560
  3. Heydar Radjavi, Peter Rosenthal (2003). Invariant Subspaces