接吻数問題

2026年現在、正確な接吻数 $k(n)$ が判明しているのは6つの次元のみである：$k(1) = 2$、$k(2) = 6$、$k(3) = 12$（シュッテ・ファン・デル・ヴェルデン、1953年）、$k(4) = 24$（ムシン、2003/2008年）、$k(8) = 240$、$k(24) = 196,560$（オドリズコ・スローンおよびレーヴェンシュタイン、1979年）。すでに次元 $5$ において $40 \le k(5) \le 44$（$40$ はルート格子 $D_5$ で実現）、次元 $6$ において $72 \le k(6) \le 77$（$72$ は $E_6$ で実現）と未解決のままである。$n \to \infty$ における最良の漸近下界は $k(n) \ge (1+o(1)) \frac{\sqrt{3\pi}}{4\sqrt{2}} \log(3/2) \cdot n^{3/2} (2/\sqrt{3})^n$（イェンセン、ヨース、パーキンス、2018年）であり、最良の漸近上界は1978年のカバチャンスキー・レーヴェンシュタイン上界 $k(n) \le 2^{0.401414 n (1 + o(1))}$ のままである。