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未解決問題、算術と数論, 解析学、1859年に提起

リーマン予想

未解決ミレニアム賞ヒルベルト #8

リーマンのゼータ関数 ζ(s)=∑n=1∞n−s\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}(C∖{1}\mathbb{C}\setminus\{1\} へ解析接続したもの)の非自明な零点はすべて、実部がちょうど 12\tfrac{1}{2} である。

提起者, 1859ベルンハルト・リーマン
研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、リーマン予想は未解決のままである。最も強い無条件の零点密度評価は、ガスとメイナードが2024年にインガムの1940年の評価を改善したもので、N(σ,T)≤T30(1−σ)13+o(1)N(\sigma,T) \le T^{\frac{30(1-\sigma)}{13}+o(1)} を与える(arXiv:2405.20552)。この論文は Annals of Mathematics に掲載予定である。これは80年以上ぶりのこの指数に対する構造的改善であり、短区間における素数に関する結果を鋭くする。非自明な零点全体のうち 5/12 以上が無条件に臨界線上に存在し、40.75%超が単純かつ臨界線上にあることが知られている(Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler, 2020年)。数値的には、最初の 101310^{13} 個の零点(グルドン、2004年)と、高さ 102410^{24} 付近の多数の追加ブロックがすべて直線上にあるが、有限個の計算では無限の主張を確定できない。

既知の最良の結果

  • ガス–メイナード(2024年)の零点密度評価 N(σ,T)≤T30(1−σ)13+o(1)N(\sigma,T) \le T^{\frac{30(1-\sigma)}{13}+o(1)}。1940年のインガムの指数に対する80年以上ぶりの構造的改善(arXiv:2405.20552)。
  • 非自明な零点の 5/12 以上が臨界線上にあり、40.75%超が単純かつ臨界線上にあることが知られている(Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler, 2020年)。
  • 最初の 101310^{13} 個の零点、および高さ 102410^{24} 付近の大きな零点ブロックが、臨界線上にあることが数値的に検証されている(グルドン、2004年)。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
ディリクレ多項式に対する零点密度評価臨界線から外れうる零点の個数を制限し、短区間における素数に関する無条件の結果を与える(ガス–メイナード2024年が指数を30/13まで押し上げた)。臨界線外の零点を完全に排除するには程遠く、それらが稀であることを示すにとどまる。
レヴィンソンの方法(モリファイされたモーメント)臨界線上にある零点が正の割合で存在することを証明する(現在5/12超、単純零点は40.75%超、Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler 2020年)。証明に必要な100%には到達できず、改善も近年ほとんど進んでいない。
大規模数値検証最初の 101310^{13} 個の零点、および高さ 102410^{24} 付近の抜き取り検証が、すべて直線上にあることを確認する(グルドン、2004年)。有限個の零点を確認するだけでは、無限に存在するすべての零点に関する主張を証明することは決してできない。

未解決の問い

  • 零点密度の指数を、リーマン予想を直接導けるほど十分に低く押し下げることは可能か、それとも根本的に異なる手法が必要か。
  • ガス–メイナードの評価は、素数定理における最適な誤差項を与えるのか、それとも短区間の素数に対する指数 x17/30x^{17/30} はさらに下げられるのか。

参考文献

  1. Bernhard Riemann (1859). Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe · DOI:10.1017/CBO9781139568050.008
  2. Larry Guth, James Maynard (2024). New large value estimates for Dirichlet polynomials · arXiv:2405.20552 [プレプリント・未査読]
  3. Kyle Pratt, Nicolas Robles, Alexandru Zaharescu, Dirk Zeindler (2020). More than five-twelfths of the zeros of ζ are on the critical line · arXiv:1802.10521
  4. Xavier Gourdon (2004). The 101310^{13} first zeros of the Riemann zeta function, and zeros computation at very large height