佐藤・テイト予想

$E$ を虚数乗法をもたない $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線とする。良い還元をもつ各素数 $p$ に対して $a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)$ と定め、$\cos \theta_p = \frac{a_p}{2\sqrt{p}}$ を満たす唯一の角を $\theta_p \in [0, \pi]$ とおく。$p$ が良い還元をもつすべての素数を動くとき、角 $\theta_p$ は区間 $[0, \pi]$ 上で佐藤・テイトの半円測度 $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$ に関して一様分布する。

ジャン＝ピエール・セールが一様分布性を直線 $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上での対称べき $L$-関数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ の非消滅と解析接続に帰着させた戦略に基づき、ローラン・クロゼル、マイケル・ハリス、ニコラス・シェパード＝バロン、リチャード・テイラー（2008年）は非整な $j$-不変量をもつ総実体上の楕円曲線に対して予想を証明した。2011年、トーマス・バーネット＝ラム、デイヴィッド・ゲラティ、マイケル・ハリス、リチャード・テイラーは、カラビ・ヤウ多様体の族と高次元モジュラー性持ち上げ定理を用いてすべての $n \ge 1$ に対する $\mathrm{Sym}^n E$ の潜在的保型性を示し、残されていた技術的仮定を完全に取り除いた。