アル・フワーリズミーの平方完成の作図

辺の長さ $x$ の正方形を描く。その面積は $x^2$ で、$x^2+bx=c$ の第一項にあたる。この正方形の隣り合う二辺に、幅 $b/2$、長さ $x$ の細長い長方形を二つ付け加えると、合計面積は $2\cdot\tfrac b2\cdot x=bx$ となり、第二項にあたる。こうしてできるL字型の図形（「グノモン」）の面積は $x^2+bx=c$ である。

このグノモンは、辺 $x+b/2$ の大きな正方形から、隅にある小さな $\tfrac b2\times\tfrac b2$ の正方形が欠けたものである。実際、二つの長方形と元の正方形は、それらが出会う外側の隅にちょうど $(b/2)\times(b/2)$ の隙間を残す。その隙間を埋めれば、グノモンとこの隅の正方形を合わせた図形全体は、辺 $x+b/2$ の真の正方形となり、その面積は（グノモンの面積 $c$ と隅の正方形の面積 $(b/2)^2$ をちょうど一度だけ加えて）$c+(b/2)^2$ となる。

したがって $(x+\tfrac b2)^2=c+\left(\tfrac b2\right)^2$。両辺の正の平方根を取る（辺の長さは正である）と $x+\dfrac b2=\sqrt{c+\left(\dfrac b2\right)^2}$ となり、$x$ について解けば $x=\sqrt{c+\left(\dfrac b2\right)^2}-\dfrac b2$ が得られる。

代数的な確認：$\left(\sqrt{c+(b/2)^2}-b/2\right)^2+b\left(\sqrt{c+(b/2)^2}-b/2\right)$ を項ごとに展開すると、$\pm b\sqrt{c+(b/2)^2}\,b/2$ の交差項が打ち消し合い、ちょうど $c$ に帰着する — これは図とは独立にこの公式を裏付ける。数値例として $x^2+10x=39$（つまり $b=10,c=39$）では、$x=\sqrt{39+25}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3$ となり、実際 $3^2+10\cdot3=9+30=39$ が成り立つ。