10年生

インド・イスラム・中国の数学

ブラフマグプタの円内接四角形の公式 $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ とペル方程式 $x^2-Ny^2=1$ から、アル・フワーリズミーの代数、オマル・ハイヤームの円錐曲線による三次方程式の解法、劉徽の多角形倍加による $\pi$ の近似、そして中国剰余定理まで。

直観三つの文明、一つの知の流れ

3世紀から13世紀ごろ、ヨーロッパの数学的記録が比較的少なかった時代に、三つの文明が驚くほど具体的で実践的な方法で数学を発展させた。ブラフマグプタら インドの天文数学者は円内接四角形の正確な公式や $x^2-Ny^2=1$ の整数解を導き、アル・フワーリズミーやオマル・ハイヤームらイスラム世界の学者は場当たり的な技法を体系的な代数へと変え、実際に正方形を切って並べ替えたり曲線を交差させたりして方程式を解いた。そして劉徽や『孫子算経』の著者ら中国の数学者は多角形を際限なく倍加させて $\pi$ を精密化し、今日中国剰余定理と呼ばれる方法で暦の問題を解いた。

中高ブラフマグプタの円内接四角形の公式

ブラフマグプタの定理（『ブラフマスプタシッダーンタ』、628年）は、このような四角形の面積が四つの辺の長さだけで決まることを示す。三角形に対するヘロンの公式とまったく同じ形である：$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$。

この公式はどこから来るのか。対角線 $AC$ を引いて四角形を三角形 $ABC$（辺 $a,b$）と三角形 $ACD$（辺 $c,d$）に分け、対角である角 $B$ と角 $D$ を考える。円内接四角形では対角の和は180度なので $B+D=180^\circ$、したがって $\cos B=-\cos D$。各三角形に余弦定理を適用すると $AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B$ と $AC^2=c^2+d^2-2cd\cos D$ が得られ、後者に $\cos D=-\cos B$ を代入して $AC^2$ の二つの式を等置すると、二つの三角形の面積（$\tfrac12 ab\sin B$ と $\tfrac12 cd\sin D$、ただし $\sin B=\sin D$）を使って $\cos B$ を消去できる。あとは $s=\tfrac{a+b+c+d}2$ を用いた平方完成と因数分解により、四つの辺がひとつの対称な積にまとまる。

大学ペル方程式とチャクラヴァーラ法

同じ628年の書物で、ブラフマグプタは今日ペル方程式と呼ばれる $x^2-Ny^2=1$（$N$ は平方数でない正の整数）を研究し、整数解 $x,y$ を求めた。彼は二つの解を組み合わせて新しい解を作る「バーヴァナー」（合成）恒等式を発見し、数世紀後バースカラ2世はこれを「チャクラヴァーラ」（循環）法へと発展させた：小さな $k$ に対する $x^2-Ny^2=k$ のおおまかな解から出発し、適切に選んだ自明な解と繰り返し合成することで $|k|$ を段階的に縮小し、$k=\pm1$ に達すれば $k=1$ の解が手に入るか、もう一段の合成でそれが得られる。

それより約五世紀早く、オマル・ハイヤームは別の問題、すなわち定規とコンパスだけでは解けない三次方程式の解法に取り組んだ。約1070年の著作『代数学の諸問題の証明に関する論考』で、彼はすべての三次方程式が二つの円錐曲線の交点によって解けることを示した。

具体的には、$a,b>0$ とし三次方程式 $x^3+a^2x=a^2b$ を考える。放物線 $x^2=ay$ と円 $y^2=x(b-x)$（正の $x$ 軸上にあり原点を通る、直径 $b$ の半円）を交わらせる。放物線から $y=x^2/a$ を円の式に代入すると $\left(x^2/a\right)^2=x(b-x)$、すなわち $x^4/a^2=bx-x^2$ となり、$x\neq0$ で割って $a^2$ を掛けるとちょうど $x^3+a^2x=a^2b$ が得られる。つまり（原点以外の）交点の $x$ 座標こそが根であり、根号の代わりに曲線の交わりを用いるのである。

$a=1,b=2$ とすると、三次方程式は $x^3+x=2$、放物線は $x^2=y$、円は $y^2=x(2-x)$ となる。これらは（原点以外に）$(1,1)$ で交わる：実際 $y^2=1$ と $x(2-x)=1\cdot1=1$ は一致し、$1^3+1=2$ で三次方程式も直接確かめられる。ハイヤームの作図は根が無理数になる三次方程式でも同様に機能する — きれいな数値が出なくても曲線は交わる。

大学劉徽の $\pi$ を求める多角形倍加アルゴリズム

約263年、古典『九章算術』への注釈の中で、劉徽は半径 $r$ の円に正六角形を内接させ、辺の数を繰り返し倍加させた。内接する正 $n$ 角形の辺の長さを $l_n$ とすると、中心から辺の中点までの距離（辺心距離）はピタゴラスの定理より $\sqrt{r^2-(l_n/2)^2}$ であり、その中点から円弧までの隙間（矢）は $r-\sqrt{r^2-(l_n/2)^2}$ である。もとの頂点をその隙間の上の弧上にある新しい頂点と結ぶと直角三角形ができ、倍加後の辺の長さは漸化式 $l_{2n}=\sqrt{\left(\dfrac{l_n}{2}\right)^2+\left(r-\sqrt{r^2-\left(\dfrac{l_n}{2}\right)^2}\right)^2}$ に従う。$n$ 角形の周長 $n\,l_n$ は $n$ が大きくなるにつれ円周 $2\pi r$ に近づくので、$\pi\approx\dfrac{n\,l_n}{2r}$ はますます良い近似を与える。

六角形（正六角形の辺は半径に等しいので $l_6=r$）から出発し四回倍加して96角形に至ると、劉徽は $\pi\approx3.14$ を得た。さらに3072角形まで倍加を続け、有名な値 $3.1416$ — 小数点以下四桁まで正確な値 — を導いた。電卓が登場する十三世紀も前のことである。

大学中国剰余定理

大学実世界での応用と具体例

これは博物館の遺物ではない。孫子の問題は暦を同期させるために考案された：古代中国の天文学者は複数の周期（60日の干支周期、惑星の周期、太陰月）を同時に追跡しており、剰余定理によって一日ずつ数える代わりに、いくつかの余りから日付を特定できた — まさに暦と航海のために作られた用途である。同じ発想は現代の暗号技術にも力を与えている：RSA復号は巨大な法 $n=pq$ と中国剰余定理（「CRT-RSA」最適化）を組み合わせ、それぞれビット長がおよそ半分の法 $p$ と法 $q$ で別々にべき乗剰余演算を行ってから結合することで、法 $n$ で直接計算するより約四倍高速に処理する。