AM–GM不等式(2数)

常に真である事実から始める: 実数の平方は決して負にならない。これを $a,b\ge 0$ であるため実数である $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ に適用する: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$。

$(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$($u=\sqrt a$、$v=\sqrt b$)を使って展開すると $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$、すなわち $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ が得られる。

両辺に $2\sqrt{ab}$ を加え、両辺を $2$(正の数なので向きは変わらない)で割ると $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$ となり、これはまさに $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ である。

等号が全体を通して成り立つのは最初のステップが等号のとき、すなわち $(\sqrt a-\sqrt b)^2=0$ のときのみであり、これは $\sqrt a=\sqrt b$、すなわち $a=b$ のときに限る。