10年生

不等式

2つの式を<、≤、>、≥で比較する命題。AM–GMのような古典的な不等式も含む。

直観正確に計算せずに大きさを比べる

数学のすべての問いが「正確な値は何か」を尋ねるわけではない——しばしば、どちらの量が大きいか、あるいは一方が他方を決して超えないことだけが知りたい。記号 $a<b$ 、 $a\le b$ 、 $a>b$ 、 $a\ge b$ はまさにこの種の比較を記録する。例えば $3<5$ は明らかに真であり、 $x^2\ge 0$ はどんな実数を代入しても成り立つ。不等式は数の集合全体について一度に推論することを可能にし、測定誤差を抑えたり、容器の形を最適化したり、アルゴリズムが決して遅くなりすぎないことを保証したりするのに必要なものである。

曲線

f(x)=x^3-3x

: 曲線が横軸の上または下にある区間が、不等式

f(x)\ge 0

と

f(x)\le 0

の解集合そのものである。

a

、

c

をドラッグして符号パターン(つまり解集合)がどう変わるか見てみよう。

中高不等式を扱う規則

定義: 順序関係

実数 $a$ 、 $b$ に対し、 $b-a$ が正のとき $a<b$ 、 $b-a$ が非負のとき $a\le b$ と書く。 $a>b$ 、 $a\ge b$ も同様に定義される。 $<$ または $>$ を使う不等式を狭義、 $\le$ または $\ge$ を使う不等式を広義という。

a<b \;\Longleftrightarrow\; a+c<b+c \quad \text{for every real } c

両辺に同じ数を加えても不等式の向きは決して変わらない: $a<b \Rightarrow a+c<b+c$ 。正の数を掛けても向きは保たれる, $a<b,\ c>0 \Rightarrow ac<bc$ 、しかし負の数を掛けると向きが反転する, $a<b,\ c<0 \Rightarrow ac>bc$ ——この符号反転は不等式を解く際に最も多いミスの原因である。

a<b,\ c<0 \;\Longrightarrow\; ac>bc

$a<b$ の両辺への演算の効果
演算	結果
$c$ を加える(任意)	向き不変: $a+c<b+c$
$c>0$ を掛ける	向き不変: $ac<bc$
$c<0$ を掛ける	向き反転: $ac>bc$
2乗、 $a,b\ge 0$ の場合	向き不変: $a^2<b^2$

大学2つの古典的不等式

定理: AM–GM不等式(2数)

すべての実数 $a\ge 0$ 、 $b\ge 0$ に対して $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立ち、等号は $a=b$ のときに限る。

なぜ正しいのか?

算術平均 $\frac{a+b}{2}$ は「ばらついた」数にも寛容だが、幾何平均 $\sqrt{ab}$ はばらつきを罰する: 大きく異なる2数を掛けると、足して2で割るより小さい「典型サイズ」になる。

証明

常に真である事実から始める: 実数の平方は決して負にならない。これを $a,b\ge 0$ であるため実数である $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ に適用する: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ 。

$(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$ ( $u=\sqrt a$ 、 $v=\sqrt b$ )を使って展開すると $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ 、すなわち $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ が得られる。

両辺に $2\sqrt{ab}$ を加え、両辺を $2$ (正の数なので向きは変わらない)で割ると $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$ となり、これはまさに $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ である。

等号が全体を通して成り立つのは最初のステップが等号のとき、すなわち $(\sqrt a-\sqrt b)^2=0$ のときのみであり、これは $\sqrt a=\sqrt b$ 、すなわち $a=b$ のときに限る。

定理: 三角不等式(実数の場合)

すべての実数 $a$ 、 $b$ に対して $|a+b| \le |a|+|b|$ が成り立つ。ここで $|x|$ は絶対値を表す。等号は $a$ と $b$ が同符号(または一方が $0$ )のときに限る。

なぜ正しいのか?

絶対値はゼロからの距離を測る。符号が異なる2数を足すと打ち消し合いが起こるため、和の距離は個々の距離を足したものより小さくなることしかない。

証明

絶対値の定義により、すべての実数 $x$ は $-|x|\le x\le |x|$ を満たす。これを $a$ 、 $b$ それぞれに適用する: $-|a|\le a\le |a|$ と $-|b|\le b\le |b|$ 。

この2つの不等式の連鎖を辺々加える(加法は向きを保つので可能): $-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$ 。

$M\ge 0$ に対する命題 $-(M)\le y\le M$ は、絶対値の定義によりちょうど $|y|\le M$ と同値である。ここで $y=a+b$ 、 $M=|a|+|b|$ なので $|a+b|\le |a|+|b|$ 、すなわち $|a+b| \le |a|+|b|$ が得られる。

等号が成立するには両方の連鎖不等式が同時に等号でなければならず、これは $a$ と $b$ が同符号(両方非負または両方非正)であることを強制する。そのときに限り $a$ と $b$ の間で打ち消しが起こらないからである。

大学実世界での応用と具体例

不等式はエンジニアや科学者が正確な答えを必要とせず保証された限界だけを必要とする日常の道具である: 橋はある荷重を少なくとも支えなければならず、信号対雑音比はある閾値を超えなければならず、予算は上限を超えてはならない。特にAM–GM不等式は「最良の形状や配分は何か」という問いを純粋な代数に変える。積が一定の和、あるいは和が一定の積の問題はまさに $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が制御するものだからである。

例: 柵で囲んだ庭の面積を最大化する

庭師は幅 $x$ 、長さ $y$ の長方形の庭を囲むための $40$ メートルの柵を持っており、 $2x+2y=40$ である。最大の面積 $S=xy$ はいくらか、またどの $x,y$ で達成されるか。

解答

$2x+2y=40$ から $x+y=20$ が得られる。この和が一定のもとで $S=xy$ を最大化したい。

AM–GM不等式 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ を $x,y\ge 0$ に適用すると $10=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{S}$ となり、 $\sqrt S\le 10$ 、よって $S\le 100\text{ m}^2$ 。

AM–GMの等号は $x=y$ のとき、すなわち $x=y=10$ (正方形の庭)のときに成立し、 $S=10\times 10=100\text{ m}^2$ となる。

他の分割、例えば $x=5,y=15$ では $S=75\text{ m}^2 < 100\text{ m}^2$ しか得られず、正方形が最適であることが確認できる。

例: GPS位置誤差の合計を評価する

GPS受信機は大気遅延による水平誤差 $a=3$ メートルと、時計ドリフトによるさらなる誤差 $b=-2$ メートル(ここで負の値は最初の誤差を部分的に打ち消すことを意味する)を組み合わせる。三角不等式 $|a+b| \le |a|+|b|$ を使って、一般の場合に正確な符号関係を知らなくても合成誤差 $|a+b|$ の大きさの保証された上界を求めよ。

解答

三角不等式 $|a+b| \le |a|+|b|$ は符号に関わらずすべての実数 $a,b$ に対して成り立つので、部分的な打ち消しが疑われる場合でもここに適用できる。

実際の値で右辺を計算する: $|a|+|b|=|3|+|-2|=3+2=5$ メートル。これが保証された最悪ケースの上界である: $|a+b|\le 5$ メートル。これは $a,b$ の符号を事前に知らなくても成り立つ(これは受信機設計者が具体的な測定値が入る前に誤差を評価する現実的な状況である)。

この具体的な数値の場合、正確にも計算できる: $a+b=3+(-2)=1$ 、よって $|a+b|=1$ メートルであり、 $5$ メートルの上界に余裕をもって収まる——これは三角不等式の上界が安全な最悪ケースであり、常にタイトとは限らないことを示している。まさに工学的な保証された上界が備えるべき性質である。

上界( $5$ m)と実際の値( $1$ m)の差は、 $a$ と $b$ が異符号であることを反映している。上界がタイト(すなわち $5$ に等しい)になるのは、両方の誤差が同じ方向を向いているときだけである。

$a=4$ 、 $b=9$ のとき、算術平均 $\frac{a+b}{2}$ と幾何平均 $\sqrt{ab}$ はそれぞれいくらか。

不等式 $2x-3>1$ を $x$ について解け。

庭師は長方形の庭(面積 $S=xy$ )のために $40$ メートルの柵( $2x+2y=40$ )を持っている。最大の面積はいくらか。

$a<b$ かつ $c<0$ のとき、常に成り立つのはどれか。