すべての原始関数は $F(x)+C$ の形をもつ

$x\in K$ に対して $H(x) = G(x) - F(x)$ とおく。$F$ と $G$ はともに $f$ の原始関数であるから、すべての $x\in K$ について $H'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x)=0$ となる：$H$ は $K$ 上で微分可能であり、導関数は恒等的に零である。

$K$ 内の任意の2点 $x_1 < x_2$ をとる（$K$ は区間なので区間全体 $[x_1,x_2]$ が $K$ に含まれることからこれが可能である）。$H$ は微分可能、したがって $[x_1,x_2]$ 上で連続であるから、平均値の定理（ラグランジュ）が適用できる：$H'(\xi)=0$ を用いて $H(x_2)-H(x_1) = H'(\xi)(x_2-x_1) = 0$ を満たす $\xi\in(x_1,x_2)$ が存在する。

したがって $K$ 内の任意の組 $x_1<x_2$ について $H(x_2)=H(x_1)$ となる：$H$ は $K$ 上のいたるところで同じ値をとり、その値を $H(x)=C$（すべての $x\in K$ について）とおく。代入し直すと $G(x)-F(x)=C$、すなわち $G(x) = F(x) + C$ となり、これがまさに主張である。