← 戻る ライブラリ › 解析学 › 一変数微積分学 12年生
原始関数 原始関数は微分の逆操作である：区間 K K K F ′ = f F'=f F ′ = f K K K F F F f f f ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C f f f ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C \int f(g(x))g'(x)\,dx = F(g(x)) + C ∫ f ( g ( x )) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x )) + C ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u\,dv = uv - \int v\,du ∫ u d v = uv − ∫ v d u
直観 導関数を逆に走らせる：速度から位置へ 速度計は今あなたがどれだけ速く進んでいるか v ( t ) v(t) v ( t ) s ( t ) s(t) s ( t ) s ↦ v s\mapsto v s ↦ v v ( t ) = s ′ ( t ) v(t) = s'(t) v ( t ) = s ′ ( t ) 原始関数 はその逆を問う：速度の記録 v ( t ) v(t) v ( t ) s ( t ) s(t) s ( t ) d d x ( x 2 + 5 ) = d d x ( x 2 + 100 ) = 2 x \frac{d}{dx}(x^2+5)=\frac{d}{dx}(x^2+100)=2x d x d ( x 2 + 5 ) = d x d ( x 2 + 100 ) = 2 x s s s
f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1 ) 2 f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2 f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1 ) 2 F ( x ) ≈ x 3 3 − x 2 + x F(x) \approx \dfrac{x^3}{3} - x^2 + x F ( x ) ≈ 3 x 3 − x 2 + x d d d 0 0 0 F F F f f f なる 理由である。中高 原始関数の定義 定義: 区間上の原始関数
f f f K K K F F F x ∈ K x\in K x ∈ K F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ K F'(x) = f(x), \quad x \in K F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ K F F F K K K f f f 原始関数 という。K K K f f f すべての 原始関数の集まりを f f f 不定積分 といい、∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C C C C ∫ \int ∫ f ( x ) f(x) f ( x ) d x dx d x x x x
F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ K F'(x) = f(x), \quad x \in K F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ K 線形性。 原始関数は微分の2つの線形性の規則を受け継ぐ：∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x \int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx ∫ [ f ( x ) ± g ( x )] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x ( k ≠ 0 ) \int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \quad (k \neq 0) ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x ( k = 0 )
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C 基本原始関数表 f ( x ) f(x) f ( x ) ∫ f ( x ) d x \int f(x)\,dx ∫ f ( x ) d x 条件 x n x^n x n x n + 1 n + 1 + C \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C n + 1 x n + 1 + C n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 1 x \dfrac1x x 1 ln ∣ x ∣ + C \ln|x| + C ln ∣ x ∣ + C x ≠ 0 x \neq 0 x = 0 e x e^x e x e x + C e^x + C e x + C 常に cos x \cos x cos x sin x + C \sin x + C sin x + C 常に sin x \sin x sin x − cos x + C -\cos x + C − cos x + C 常に 1 cos 2 x \dfrac{1}{\cos^2 x} cos 2 x 1 tan x + C \tan x + C tan x + C x ≠ π 2 + k π x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi x = 2 π + k π
大学 一意性・置換積分・部分積分 F F F G G G K K K f f f C C C x ∈ K x\in K x ∈ K G ( x ) = F ( x ) + C G(x) = F(x) + C G ( x ) = F ( x ) + C
なぜ正しいのか? 2台の車が常に同じ速度で同じ道を走るなら、互いに離れたり近づいたりすることはできない——2台の間の距離は永遠に一定である。ここで F F F G G G f f f G − F G-F G − F K K K
証明 x ∈ K x\in K x ∈ K H ( x ) = G ( x ) − F ( x ) H(x) = G(x) - F(x) H ( x ) = G ( x ) − F ( x ) F F F G G G f f f x ∈ K x\in K x ∈ K H ′ ( x ) = G ′ ( x ) − F ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 H'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x)=0 H ′ ( x ) = G ′ ( x ) − F ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 H H H K K K
K K K x 1 < x 2 x_1 < x_2 x 1 < x 2 K K K [ x 1 , x 2 ] [x_1,x_2] [ x 1 , x 2 ] K K K H H H [ x 1 , x 2 ] [x_1,x_2] [ x 1 , x 2 ] H ′ ( ξ ) = 0 H'(\xi)=0 H ′ ( ξ ) = 0 H ( x 2 ) − H ( x 1 ) = H ′ ( ξ ) ( x 2 − x 1 ) = 0 H(x_2)-H(x_1) = H'(\xi)(x_2-x_1) = 0 H ( x 2 ) − H ( x 1 ) = H ′ ( ξ ) ( x 2 − x 1 ) = 0 ξ ∈ ( x 1 , x 2 ) \xi\in(x_1,x_2) ξ ∈ ( x 1 , x 2 )
したがって K K K x 1 < x 2 x_1<x_2 x 1 < x 2 H ( x 2 ) = H ( x 1 ) H(x_2)=H(x_1) H ( x 2 ) = H ( x 1 ) H H H K K K H ( x ) = C H(x)=C H ( x ) = C x ∈ K x\in K x ∈ K G ( x ) − F ( x ) = C G(x)-F(x)=C G ( x ) − F ( x ) = C G ( x ) = F ( x ) + C G(x) = F(x) + C G ( x ) = F ( x ) + C
F F F f f f g g g ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C \int f(g(x))g'(x)\,dx = F(g(x)) + C ∫ f ( g ( x )) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x )) + C
なぜ正しいのか? 置換積分は連鎖律を逆から読んだものに過ぎない：合成関数 F ( g ( x ) ) F(g(x)) F ( g ( x )) f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) f(g(x))g'(x) f ( g ( x )) g ′ ( x ) u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x ) x x x u u u
証明 Φ ( x ) = F ( g ( x ) ) \Phi(x) = F(g(x)) Φ ( x ) = F ( g ( x )) F ′ = f F'=f F ′ = f Φ ′ ( x ) = F ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) = f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) \Phi'(x) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))g'(x) Φ ′ ( x ) = F ′ ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x ) = f ( g ( x )) g ′ ( x )
これはまさに、定義域内のすべての x x x Φ \Phi Φ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) f(g(x))g'(x) f ( g ( x )) g ′ ( x ) Φ \Phi Φ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) f(g(x))g'(x) f ( g ( x )) g ′ ( x )
上の一意性の定理により、f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) f(g(x))g'(x) f ( g ( x )) g ′ ( x ) Φ \Phi Φ ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = Φ ( x ) + C = F ( g ( x ) ) + C \int f(g(x))g'(x)\,dx = \Phi(x) + C = F(g(x)) + C ∫ f ( g ( x )) g ′ ( x ) d x = Φ ( x ) + C = F ( g ( x )) + C u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x ) d u = g ′ ( x ) d x du=g'(x)\,dx d u = g ′ ( x ) d x ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C \int f(u)\,du = F(u)+C ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x )
u = u ( x ) u=u(x) u = u ( x ) v = v ( x ) v=v(x) v = v ( x ) K K K ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u\,dv = uv - \int v\,du ∫ u d v = uv − ∫ v d u ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x \int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x
なぜ正しいのか? 部分積分は積の法則を逆にたどるものである：積分記号を取り除くわけではないが、導関数を一方の因子（v v v u u u u u u u = x u=x u = x u ′ = 1 u'=1 u ′ = 1 v ′ v' v ′ ∫ x e x d x \int x e^x\,dx ∫ x e x d x
証明 積の法則により ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)' = u'v + uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′ u v ′ = ( u v ) ′ − u ′ v uv' = (uv)' - u'v u v ′ = ( uv ) ′ − u ′ v
両辺の（K K K x x x ( u v ) ′ (uv)' ( uv ) ′ u v uv uv ∫ u v ′ d x = ∫ ( u v ) ′ d x − ∫ u ′ v d x = u v − ∫ u ′ v d x \int uv'\,dx = \int (uv)'\,dx - \int u'v\,dx = uv - \int u'v\,dx ∫ u v ′ d x = ∫ ( uv ) ′ d x − ∫ u ′ v d x = uv − ∫ u ′ v d x
d v = v ′ ( x ) d x dv = v'(x)\,dx d v = v ′ ( x ) d x d u = u ′ ( x ) d x du=u'(x)\,dx d u = u ′ ( x ) d x ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u\,dv = uv - \int v\,du ∫ u d v = uv − ∫ v d u u u u d v dv d v e x e^x e x sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x
大学 実世界での応用と具体例 原始関数は運動学 の数学的なエンジンである：v ( t ) = s ′ ( t ) v(t) = s'(t) v ( t ) = s ′ ( t ) a ( t ) = v ′ ( t ) = s ′ ′ ( t ) a(t) = v'(t) = s''(t) a ( t ) = v ′ ( t ) = s ′′ ( t ) F = m a F=ma F = ma
例: 速度関数からの制動距離
ある車が速度 v ( t ) = 20 − 8 t v(t) = 20 - 8t v ( t ) = 20 − 8 t t t t s ( 0 ) = 0 s(0)=0 s ( 0 ) = 0 s ( t ) s(t) s ( t )
解答 v = s ′ v=s' v = s ′ s s s v v v s ( t ) = 20 t − 4 t 2 s(t) = 20t - 4t^2 s ( t ) = 20 t − 4 t 2 C C C s ( 0 ) = 0 s(0)=0 s ( 0 ) = 0 C = 0 C=0 C = 0 s ( t ) = 20 t − 4 t 2 s(t) = 20t - 4t^2 s ( t ) = 20 t − 4 t 2
車が停止するのは v ( t ) = 0 v(t)=0 v ( t ) = 0 20 − 8 t = 0 ⇒ t = 2.5 s 20-8t=0 \Rightarrow t = 2.5\ \text{s} 20 − 8 t = 0 ⇒ t = 2.5 s
制動距離は、その停止時刻に到達した位置である：s ( 2,5 ) = 20 ( 2,5 ) − 4 ( 2,5 ) 2 = 50 − 25 = 25 m s(2{,}5) = 20(2{,}5)-4(2{,}5)^2 = 50-25 = 25\ \text{m} s ( 2 , 5 ) = 20 ( 2 , 5 ) − 4 ( 2 , 5 ) 2 = 50 − 25 = 25 m 25 25 25
例: 加速度からのロケットの高度
模型ロケットが 0 ≤ t ≤ 10 0\le t\le 10 0 ≤ t ≤ 10 v ( 0 ) = 0 v(0)=0 v ( 0 ) = 0 s ( 0 ) = 0 s(0)=0 s ( 0 ) = 0 a ( t ) = 6 t a(t) = 6t a ( t ) = 6 t s ( t ) s(t) s ( t ) t = 10 t=10 t = 10
解答 加速度の原始関数をとって速度を得る：∫ 6 t d t = 3 t 2 + C 1 \int 6t\,dt = 3t^2+C_1 ∫ 6 t d t = 3 t 2 + C 1 v ( 0 ) = 0 v(0)=0 v ( 0 ) = 0 C 1 = 0 C_1=0 C 1 = 0 v ( t ) = 3 t 2 v(t) = 3t^2 v ( t ) = 3 t 2
速度の原始関数をとって位置を得る：∫ 3 t 2 d t = t 3 + C 2 \int 3t^2\,dt = t^3+C_2 ∫ 3 t 2 d t = t 3 + C 2 s ( 0 ) = 0 s(0)=0 s ( 0 ) = 0 C 2 = 0 C_2=0 C 2 = 0 s ( t ) = t 3 s(t) = t^3 s ( t ) = t 3
t = 10 t=10 t = 10 s ( 10 ) = 1000 m s(10) = 1000\ \text{m} s ( 10 ) = 1000 m
よくある誤り. 原始関数に関する2つの典型的な誤り。 (1) **定数 C C C ∫ 2 x d x = x 2 \int 2x\,dx = x^2 ∫ 2 x d x = x 2 不完全 である：x 2 + C x^2+C x 2 + C C C C 対応する微分因子なしに置換すること。 ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x ≠ sin ( x 2 ) ⋅ 2 x 2 \int 2x\cos(x^2)\,dx \neq \sin(x^2) \cdot 2x^2 ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x = sin ( x 2 ) ⋅ 2 x 2 sin ( x 2 ) + C \sin(x^2)+C sin ( x 2 ) + C 見つからない ：推測を微分すると d d x sin ( x 2 ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x d x d sin ( x 2 ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x 正確に 一致するので ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x = sin ( x 2 ) + C \int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2)+C ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x = sin ( x 2 ) + C 歴史的ノート
17世紀後半、アイザック・ニュートン とゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ は独立に、原始関数を求めることが微分の逆演算であると認識し、それぞれこれを中心とした体系的な微積分学を築いた：ニュートンの「流量」(fluent) は「流率」(fluxion) から流れる量を復元し、一方ライプニッツの記法 ∫ f ( x ) d x \int f(x)\,dx ∫ f ( x ) d x ∫ \int ∫ d x dx d x ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C
アイザック・ニュートン ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ
研究 現代の研究最前線における原始関数 研究の最前線 2026年時点
2026年現在、中心的な問いは依然として活発である：初等的な原始関数はいつ存在するのか？ リウヴィルは1830年代に、e − x 2 e^{-x^2} e − x 2 sin x x \frac{\sin x}{x} x s i n x まったく持たない ことを証明した——多項式・指数関数・対数関数・三角関数の有限個の組み合わせでは、どれほど巧みに置換や部分積分を行っても決してうまくいかない。リッシュのアルゴリズム （1969年、現在も改良が続く）は、広いクラスの被積分関数に対して初等的な原始関数が存在するかどうかを判定し、存在すればそれを生成する決定手続きを与える；これは（完全なアルゴリズムは非常に複雑であるため部分的にではあるが）Mathematica、Maple、SymPy のような計算機代数システムに実装されており、その境界事例——リウヴィルの定理が残した隙間を埋めるためにまさに定義 された誤差関数 erf ( x ) \operatorname{erf}(x) erf ( x )
∫ ( 3 x 2 − 4 x + 5 ) d x \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx ∫ ( 3 x 2 − 4 x + 5 ) d x
x 3 − 2 x 2 + 5 x + C x^3 - 2x^2 + 5x + C x 3 − 2 x 2 + 5 x + C 6 x − 4 + C 6x - 4 + C 6 x − 4 + C x 3 − 4 x 2 + 5 x + C x^3 - 4x^2 + 5x + C x 3 − 4 x 2 + 5 x + C 3 x 3 − 4 x 2 + 5 x + C 3x^3 - 4x^2 + 5x + C 3 x 3 − 4 x 2 + 5 x + C 置換積分を用いて ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x \int 2x\cos(x^2)\,dx ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x
sin ( x 2 ) + C \sin(x^2) + C sin ( x 2 ) + C x 2 sin ( x 2 ) + C x^2\sin(x^2) + C x 2 sin ( x 2 ) + C − sin ( x 2 ) + C -\sin(x^2) + C − sin ( x 2 ) + C 2 sin ( x 2 ) + C 2\sin(x^2) + C 2 sin ( x 2 ) + C 部分積分を用いて ∫ x e x d x \int x e^x\,dx ∫ x e x d x
x e x − e x + C xe^x - e^x + C x e x − e x + C x 2 2 e x + C \frac{x^2}{2}e^x + C 2 x 2 e x + C x e x + e x + C xe^x + e^x + C x e x + e x + C e x + C e^x + C e x + C ある物体の速度が v ( t ) = 6 t 2 − 4 t v(t) = 6t^2 - 4t v ( t ) = 6 t 2 − 4 t s ( 0 ) = 1 s(0)=1 s ( 0 ) = 1 s ( 1 ) s(1) s ( 1 )